ถ้าพูดถึง “เวกเตอร์” น้อง ๆ บางคนอาจจะคุ้นชื่อนี้จากวิชาฟิสิกส์ แต่ทุกคนรู้ไหมว่า เราจะได้เจอเวกเตอร์ในเนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ด้วยน้าาา ซึ่งเวกเตอร์ในวิชาคณิตศาสตร์จะมีทฤษฎีบท สูตร และเนื้อหาอะไรที่เราต้องรู้บ้าง วันนี้พี่มาช่วยตอบทุกคำถามที่น้อง ๆ อยากรู้และอาจจะสงสัยให้แล้วในบทความนี้ แถมยังมีตัวอย่่างโจทย์ให้ทุกคนได้ฝึกทำพร้อมเฉลยละเอียดให้ด้วย ถ้าทุกคนพร้อมแล้ว ไปอ่านกันเลยยย
เวกเตอร์
เวกเตอร์และสมบัติของเวกเตอร์
น้อง ๆ บางคนอาจคุ้นเคยกับปริมาณที่บ่งบอกขนาดต่าง ๆ เช่น ความยาว ระยะทาง ปริมาตร มวล อุณหภูมิ เป็นต้น เพื่อบอกความมากหรือน้อยของสิ่งนั้น ดังตัวอย่างประโยคเหล่านี้ในชีวิตประจำวันของน้อง ๆ
น้อง ๆ อาจเคยถามแม่ค้าว่า…
“แม่ค้าคะ มีไม้บรรทัดยาว 100 เซนติเมตรขายไหมคะ”
อาจเคยได้ยินเพื่อนบ่นว่า…
“วันนี้อากาศร้อนมากเลย ในแอปพลิเคชันบอกว่าอุณหภูมิ 32 องศา แต่ Feels Like 35 องศาแน่ะ !!”
หรืออาจได้ยินแม่พูดว่า…
“แมวของแม่กินเก่งมาก แม่ต้องซื้ออาหารแมวถุงใหญ่สุดที่มีน้ำหนัก 20 กิโลกรัมทุกเดือนเลย”
การบอกปริมาณบางอย่างสามารถบอกเพียงขนาดอย่างเดียวได้ ดังประโยคข้างต้น แต่ปริมาณบางอย่างไม่สามารถทำได้ จะต้องบอกขนาดควบคู่กับการพิจารณาทิศทางด้วย อ่านเพียงเท่านี้อาจฟังดูประหลาดสำหรับน้อง ๆ บางคนที่ไม่คุ้นเคย แต่พี่จะลองยกตัวอย่างต่อไปนี้
น้อง ๆ อาจเคยได้ยินคนถามซินแสว่า…
“ซินแสคะ จากบ้านหนูเดินทางไปทางทิศเหนือประมาณ 500 เมตรก็จะถึงแม่น้ำ ทำเลบ้านหนูดีไหมคะ”
หรือเคยได้ยินคนพากย์เรือยาวว่า…
“เรือยาวลำนี้เคลื่อนที่ไปข้างหน้าด้วยความเร่ง 4 เมตรต่อวินาทียกกำลังสองเลยทีเดียวครับบบ”
น้อง ๆ ที่เคยเรียนวิทยาศาสตร์มาแล้วบางคนอาจจะคุ้นเคยกับคำว่า “เวกเตอร์” มาบ้าง พี่จะขอสรุปความหมายของปริมาณทั้งสองแบบพร้อมทั้งชื่อเรียกไว้ดังนี้
ชนิดของปริมาณ
- ปริมาณสเกลาร์ คือ มีขนาดเพียงอย่างเดียว เช่น มูลค่าของเงิน ระยะทาง ช่วงเวลา
- ปริมาณเวกเตอร์ คือ มีทั้งขนาดและทิศทาง เช่น แรงผลัก ระยะกระจัด ความเร็ว
ปริมาณสเกลาร์สามารถเขียนแทนด้วยจำนวนจริงได้เลย แต่ปริมาณเวกเตอร์จะต้องมีส่วนของเส้นตรงและหัวลูกศรมา
ระบุทิศทางด้วย โดยความยาวของส่วนของเส้นตรงจะเป็นตัวบอกขนาดนั่นเอง โดยสัญลักษณ์ที่น้อง ๆ จะได้เจอใน
เวกเตอร์ มีดังนี้
หลังจากที่เราทำความรู้จักสัญลักษณ์ซึ่งจะต้องเจอในบทนี้ พี่จะขออธิบายคำสำคัญ อย่างเช่น การขนานกันของเวกเตอร์ การเท่ากันของเวกเตอร์ และนิเสธของเวกเตอร์ให้น้อง ๆ เข้าใจอย่างง่าย ๆ ดังรูปด้านล่างนี้เลย
การบวกเวกเตอร์
การบวกเวกเตอร์มีความแตกต่างกับการบวกของจำนวนทางคณิตศาสตร์ทั่วไป เพราะการบวกเวกเตอร์เราต้องคำนึงถึงทั้งขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ด้วย
บทนิยาม
ให้ vec{u} และ vec{v} เป็นเวกเตอร์ใด ๆ เขียน vec{v} โดยให้จุดเริ่มต้นของ vec{v} อยู่ที่จุดสิ้นสุดของ vec{u} ผลบวกของ vec{u} และ vec{v} คือ เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นอยู่ที่จุดเริ่มต้นของ vec{u} และจุดสิ้นสุดอยู่ที่จุดสิ้นสุดของ vec{v}
นั่นคือ การบวกของ vec{u} และ vec{v} คือการนำหัวของ vec{v} ต่อที่หางของ vec{u} แล้วผลบวกของ vec{u} และ vec{v} จะมีหางอยู่ที่หางของ vec{u} และหัวอยู่ที่หัวของ vec{v} หรือเราสามารถเรียกว่าการบวกเวกเตอร์แบบหางต่อหัวนั่นเอง
ผลบวกของ vec{u} และ vec{v} เขียนแทนด้วย vec{u}+ vec{v}
ตัวอย่างที่ 1
จงหาเวกเตอร์ vec{u} + vec{v}
จากตัวอย่าง นำเวกเตอร์ vec{v} มาต่อกับเวกเตอร์ vec{u} ให้หางของเวกเตอร์ vec{v} ต่อที่หัวของเวกเตอร์ vec{u} แล้วเวกเตอร์ลัพธ์ vec{u}+ vec{v} จะลากจากหางของเวกเตอร์ vec{u} ไปที่หัวของเวกเตอร์ vec{v} ดังรูปข้างต้น
เวกเตอร์ศูนย์
บทนิยาม
เวกเตอร์ศูนย์ (zero vector) คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเป็นศูนย์
เวกเตอร์ศูนย์ เขียนแทนด้วย vec{0}
โดยทั่วไปเราจะไม่กล่าวถึงทิศทางของเวกเตอร์ศูนย์ แต่ถ้าต้องการกล่าวถึงมีข้อตกลงว่าจะระบุทิศทางของเวกเตอร์ศูนย์เป็นเช่นใดก็ได้
จากบทนิยามจะเห็นว่า สำหรับเวกเตอร์ vec{u} ใด ๆ vec{u}+vec{0}=vec{0}+vec{u}=vec{u} และ vec{u}+(-vec{u})=(-vec{u})+vec{u}=vec{0}
เวกเตอร์ศูนย์จะมีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์เป็นจุดเดียวกันนั่นเอง
สรุปสมบัติการบวกเวกเตอร์ ได้ดังนี้ vec{u}
ให้ vec{u} , vec{v} และ vec{w} เป็นเวกเตอร์ใด ๆ
1. vec{u}+vec{v} =vec{v}+vec{u}
2. (vec{u}+vec{v})+vec{w} =vec{u}+(vec{v}+vec{w})
3. vec{u}+vec{0}=vec{0}+vec{u}=vec{u}
4. vec{u}+(-vec{u})=(-vec{u})+vec{u}=vec{0}
การลบเวกเตอร์
หลังจากเรารู้จักการบวกเวกเตอร์และเวกเตอร์ศูนย์แล้ว ในหัวข้อนี้เราจะมาดูว่าการลบเวกเตอร์ มีหลักการหรือวิธีการที่เหมือนหรือแตกต่างจากการบวกเวกเตอร์ยังไง
บทนิยาม
ให้ vec{u} และ vec{v} เป็นเวกเตอร์ใด ๆ vec{u} ลบด้วย vec{v} เขียนแทนด้วย vec{u}-vec{v} คือผลบวกเวกเตอร์ของ vec{u} และนิเสธของ vec{v} นั่นคือ vec{u}-vec{v}=vec{u}+(-vec{v})
การลบเวกเตอร์สามารถหาได้จากการบวกด้วยนิเสธของเวกเตอร์ นั่นคือการบวกเวกเตอร์นั้นในทิศทางตรงกันข้าม โดยน้อง ๆ สามารถใช้การบวกแบบหางต่อหัวเช่นเดียวกันกับการบวกในหัวข้อก่อนหน้าเลย
ตัวอย่างที่ 2
จงหาเวกเตอร์ vec{u} - vec{v}
จาก vec{u} และ vec{v} ที่กำหนดให้ เราจะหานิเสธของ vec{v} โดยที่มีขนาดเท่าเดิม แต่มีทิศทางตรงกันข้าม นั่นคือ -vec{v} จากนั้นนำ vec{u} มาบวกกับ -vec{v} แล้วจะได้เวกเตอร์ลัพธ์ที่ลากจากหางของ vec{u} ไปที่หัวของ -vec{v} และมีทิศทางดังรูปด้านบน
การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์
ในการศึกษาหัวข้อนี้ เราจะใช้อักษร a, b, c, … แทนสเกลาร์ (จำนวนจริง)
บทนิยาม
ให้ a เป็นสเกลาร์ และ vec{u} เป็นเวกเตอร์ ผลคูณของ vec{u} กับสเกลาร์ a เป็นเวกเตอร์ เขียนแทนด้วย avec{u} โดยที่
- ถ้า a=0 แล้ว avec{u} =vec{0}
- ถ้า a>0 แล้ว avec{u} จะมีขนาด left |a right |left |vec{u} right | หน่วย และมีทิศทางเดียวกับ vec{u}
- ถ้า a<0 แล้ว avec{u} จะมีขนาด left |a right |left |vec{u} right| หน่วย แต่มีทิศทางตรงข้ามกับ vec{u}
หมายเหตุ
1. (-1)vec{u}=-vec{u}
2. ถ้า aneq 0 และ vec{u} ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ แล้ว avec{u} จะขนานกับ vec{u}
ตัวอย่างที่ 3
ให้ vec{u} เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาด 4 หน่วย จงบรรยายลักษณะของเวกเตอร์ต่อไปนี้
- 4vec{u}
- -4vec{u}
- frac{1}{4}vec{u}
- -frac{1}{4}vec{u}
- เนื่องจาก 4>0 ดังนั้น 4vec{u} จะมีขนาดเป็นสี่เท่าของ vec{u} หรือมีขนาด 16 หน่วย และมีทิศทางเดียวกับ vec{u}
- เนื่องจาก -4<0 ดังนั้น -4vec{u} จะมีขนาดเป็นสี่เท่าของ vec{u} หรือมีขนาด 16 หน่วย แต่มีทิศทางตรงข้ามกับ vec{u}
- เนื่องจาก frac{1}{4}>0 ดังนั้น frac{1}{4}vec{u} จะมีขนาดเป็นหนึ่งในสี่ของ vec{u} หรือมีขนาด 1 หน่วย และมีทิศทางเดียวกับ vec{u}
- เนื่องจาก -frac{1}{4}<0 ดังนั้น -frac{1}{4}vec{u} จะมีขนาดเป็นหนึ่งในสี่ของ vec{u} หรือมีขนาด 1 หน่วย แต่มีทิศทางตรงข้ามกับ vec{u}
สรุปสมบัติการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ ได้ดังนี้
ให้ a, b เป็นสเกลาร์ และ vec{u}, vec{v} เป็นเวกเตอร์
- 1vec{u}=vec{u}
- a(vec{u}+vec{v})=avec{u}+avec{v}
- (a+b)vec{u}=avec{u}+bvec{u}
- (ab)vec{u}=a(bvec{u})+b(avec{u})
เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก
หลังจากที่น้อง ๆ ได้รู้จักแล้วว่าเวกเตอร์คืออะไร สามารถเขียนสัญลักษณ์แทนเวกเตอร์ได้แบบไหนแล้ว แต่การจะบรรยายว่าเวกเตอร์นั้นมีขนาดเท่าไร และมีทิศทางไปทางไหนโดยใช้การวาดรูปไปตลอดคงจะไม่ค่อยสะดวกนัก จึงมีวิธีการเขียนเวกเตอร์ให้เข้าใจได้ง่ายอยู่ 2 แบบ คือ
1. การใช้เมทริกซ์ช่วย
2. การใช้เวกเตอร์ vec{i}, vec{j}, vec{k} ช่วย โดยที่เวกเตอร์ vec{i}, vec{j}, vec{k} เป็นเวกเตอร์ขนาดหนึ่งหน่วยที่มีทิศทางตามแกน X, Y, Z ในระบบพิกัดฉากตามลำดับ
ซึ่งวิธีการเขียน 2 แบบนี้มีความแตกต่างกันยังไง พี่มีตัวอย่างให้น้อง ๆ ได้ดู ตามนี้เลย
ตัวอย่างที่ 4
จงเขียนเวกเตอร์ overrightarrow{OP} ที่มีลักษณะดังรูป ในรูปแบบเมทริกซ์ และในรูปแบบเวกเตอร์ vec{i}, vec{j}, vec{k}
วิธีทำ
- เขียนในรูปแบบเมทริกซ์ overrightarrow{OP}=begin{bmatrix}3\4\5end{bmatrix}
- เขียนในรูปแบบเวกเตอร์ vec{i}, vec{j}, vec{k}
overrightarrow{OP}=3vec{i}, 4vec{j}, 5vec{k}
ป.ล. พี่จะขอใช้วิธีการเขียนเวกเตอร์ในรูปแบบเมทริกซ์ในการอธิบายเนื้อหาหลังจากนี้น้า
โดยตัวอย่างข้างต้นเป็นการหาเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นเป็นจุดกำเนิด แต่ถ้าจุดเริ่มต้นไม่ใช่จุดกำเนิดล่ะ จะหาเวกเตอร์ยังไงดี พี่มีตัวอย่างเล็ก ๆ ที่จะให้น้อง ๆ รู้วิธีหาเวกเตอร์จากจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดใด ๆ ได้ ตามนี้เลย
ตัวอย่างที่ 5
จงหาเวกเตอร์ overrightarrow{AB} และ overrightarrow{BA} ที่มีจุด A คือจุด left (3,4 right ) และจุด B คือจุด left (5,1 right )
วิธีทำ
overrightarrow{AB}=begin{bmatrix}5-3\1-4end{bmatrix} =begin{bmatrix} 2\-3end{bmatrix}ดังนั้น overrightarrow{AB}=begin{bmatrix} 2\-3end{bmatrix}
overrightarrow{BA}=begin{bmatrix}3-5\4-1end{bmatrix} =begin{bmatrix}-2\ 3end{bmatrix}ดังนั้น overrightarrow{BA}=begin{bmatrix}-2\ 3end{bmatrix}
ตัวอย่างที่ 6
จงหาเวกเตอร์ overrightarrow{CD} และ overrightarrow{DC} ที่มีจุด C คือจุด left (1,-3,7 right ) และจุด D คือจุด left (-2,-1,2 right )
วิธีทำ
overrightarrow{CD} =begin{bmatrix} -2 -1\ -1 -(-3)\ 2 -7end{bmatrix} =begin{bmatrix}-3\ 2\-5end{bmatrix}ดังนั้น overrightarrow{CD}=begin{bmatrix}-3\ 2\-5end{bmatrix}
overrightarrow{DC}=begin{bmatrix} 1 -(-2)\ -3 -(-1)\ 7 -2end{bmatrix} =begin{bmatrix} 3\-2\ 5end{bmatrix}ดังนั้น overrightarrow{DC}=begin{bmatrix} 3\-2\ 5end{bmatrix}
ขนาดของเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก
การหาขนาดของเวกเตอร์ เราจะใช้ความรู้เดิมจากเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์ นั่นคือ ระยะห่างระหว่างจุดกับจุด เช่น ถ้าอยากหาขนาดของ overrightarrow{AB} เราจะหาระยะห่างระหว่างจุด A กับจุด B และสรุปเป็นขนาดของ overrightarrow{AB} ได้เลย โดยมีสูตรขนาดของเวกเตอร์ดังนี้
กำหนดให้ vec{u}=begin{bmatrix}a\bend{bmatrix} และ vec{v}=begin{bmatrix}a\ b\ cend{bmatrix} จะได้ว่า
ขนาดของ vec{u}=left | vec{u} right |=sqrt{a^{2}+b^{2}}
ขนาดของ vec{v}=left |vec{v} right |=sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}
ตัวอย่างที่ 7
จงหาขนาดของ vec{u} โดยที่ vec{u}=begin{bmatrix} 2\ -3\ 6end{bmatrix}
วิธีทำ
left | vec{u} right |=sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+6^{2}}
=sqrt{4+9+36}
=sqrt{49}
=7
ดังนั้น ขนาดของ vec{u} คือ =7
เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในระบบพิกัดฉาก
บทนิยาม
เวกเตอร์ที่มีขนาดหนึ่งหน่วย เรียกว่า เวกเตอร์หนึ่งหน่วย
เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในระบบพิกัดฉาก 2 มิติที่สำคัญคือ begin{bmatrix}1\ 0end{bmatrix} เขียนแทนด้วย vec{i} และ begin{bmatrix}0\ 1end{bmatrix} เขียนแทนด้วย vec{j}
ส่วนเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่สำคัญในระบบพิกัดฉาก 3 มิติที่สำคัญ คือ begin{bmatrix}1\ 0\ 0end{bmatrix} เขียนแทนด้วย vec{i} , begin{bmatrix}0\ 1\ 0end{bmatrix} เขียนแทนด้วย vec{j} และ begin{bmatrix}0\ 0\ 1end{bmatrix} เขียนแทนด้วย vec{k}
เนื่องจาก vec{u} ใด ๆ ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์จะมีขนาดเท่ากับ left |vec{u} right | ดังนั้นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกับ vec{u} คือ frac{vec{u}}{left |vec{u} right | }
ตัวอย่างที่ 8
จงหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกับ begin{bmatrix}-4\ 8\ -1end{bmatrix}
วิธีทำ
left | vec{u} right |=sqrt{(-4)^{2}+(8)^{2}+(-1)^{2}}
=sqrt{16+64+1}
=sqrt{81}
=9
frac{vec{u}}{left |vec{u}right |}=frac{1}{9}begin{bmatrix}-4\ 8\-1end{bmatrix}
ดังนั้น เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกับ begin{bmatrix}-4\ 8\-1end{bmatrix} คือ begin{bmatrix}-frac{4}{9}\\ frac{8}{9}\\-frac{1}{9}end{bmatrix}
การดำเนินการของเวกเตอร์
ตัวอย่างที่ 9
กำหนดให้ vec{u}=begin{bmatrix}-3\ 5end{bmatrix} และ vec{v}=begin{bmatrix} 4\ -6end{bmatrix} จงหา 2vec{u}-vec{v}
วิธีทำ
2vec{u}-vec{v}=2begin{bmatrix}-3\ 5end{bmatrix}-begin{bmatrix} 4\-6end{bmatrix} =begin{bmatrix}-6\ 10end{bmatrix}-begin{bmatrix} 4\-6end{bmatrix} =begin{bmatrix}-6 -4\ 10 -(-6)end{bmatrix} =begin{bmatrix}-10\ 16end{bmatrix}ดังนั้น 2vec{u}-vec{v}=begin{bmatrix}-10\ 16end{bmatrix}
ผลคูณเชิงสเกลาร์
บทนิยาม
ให้ vec{u} และ vec{v} เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสองมิติหรือสามมิติ a_{1},a_{2},a_{3},b_{1},b_{2} และ b_{3} เป็นสเกลาร์ ผลคูณเชิงสเกลาร์ของ vec{u} และ vec{v} (อ่านว่า เวกเตอร์ยู ดอท เวกเตอร์วี) กำหนดดังนี้
- ถ้า vec{u}=a_{1}vec{i}+a_{2}vec{j} และ vec{v} = b_{1}vec{i}+b_{2}vec{j} เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสองมิติ จะได้ vec{u}cdot vec{v}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}
- ถ้า vec{u}=a_{1}vec{i}+a_{2}vec{j}+a_{3}vec{k} และ vec{v}=b_{1}vec{i}+b_{2}vec{j}+b_{3}vec{k} เป็นเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสามมิติ
จะได้ vec{u}cdot vec{v}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}
ตัวอย่างที่ 10
กำหนดให้ vec{u}=begin{bmatrix}-3\ 5end{bmatrix} และ vec{v}=begin{bmatrix} 4\ -6end{bmatrix} จงหา vec{u}cdot vec{v}
วิธีทำ
vec{u}cdot vec{v}=(-3)(4)+(5)(-6)
=(-12)+(-30)
=-42
ดังนั้น vec{u}cdot vec{v}=-42
ซึ่งผลคูณเชิงสเกลาร์มีทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องอยู่ 2 ทฤษฎีบท ดังนี้
ทฤษฎีบท
ให้ vec{u},vec{v} และ vec{w} เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ในระบบพิกัดฉากสองมิติหรือสามมิติและ a เป็นสเกลาร์ จะได้ว่า
- vec{u}cdot vec{v}=vec{v}cdot vec{u}
- vec{u}cdot (vec{v}+vec{w})=left(vec{u}cdotvec{v} right)+left(vec{u}cdotvec{w} right) และ left(vec{u}+vec{v}right)cdot vec{w}=left(vec{u}cdot vec{w} right)+left(vec{v}cdot vec{w} right)
- aleft(vec{u}cdot vec{v} right)=left (avec{u}right)cdot vec{v}=vec{u}cdot left (avec{v}right)
- vec {0}cdot vec{u}=0
- vec {u}cdot vec{u}=left | vec{u} right |^{2}
- vec{i}cdot vec{i}=vec {j}cdot vec{j}=vec{k}cdot vec{k}=1 และ vec{i}cdot
vec {j}=vec{i}cdot vec{k}=vec{j}cdot vec{k}=0
ให้ vec{u} และ vec{v} เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ ในระบบพิกัดฉากสองมิติหรือสามมิติและ theta เป็นขนาดของมุมระหว่าง vec{u} และ vec{v} ซึ่ง 0^{circ}leq theta leq 180^{circ} (มุมระหว่างเตอร์ หมายถึงที่ไม่ใช่มุมกลับ ซึ่งมีแขนของมุมเป็นรังสีที่ขนานและมีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ทั้งสอง) จะได้ว่า
vec {u}cdot vec{v}=left | vec{u} right |left | vec{v} right |cos theta
ตัวอย่างที่ 11
จงหาค่าของ vec{u}cdot vec{v} โดยกำหนดให้ขนาดของ vec{u} และ vec{v} เป็น 10 และ 7 ตามลำดับ และมีขนาดของมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสองเป็น 90^{circ}
วิธีทำ
vec{u}cdot vec{v}=left | vec{u} right |left | vec{v} right |costheta
=(10)(70)cos90^{circ}
=(70)(0)
=0
ดังนั้น vec{u}cdot vec{v}=0
จากตัวอย่างข้างต้น พี่อยากให้น้อง ๆ สังเกตว่า ถ้าเวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉากกันหรือทำมุมกัน 90^{circ} จะทำให้ค่าของ vec{u}cdot vec{v} เป็น 0
ให้ vec{u} และ vec{v} เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ในระบบพิกัดฉากสองมิติหรือสามมิติ จะได้ว่า vec{u} ตั้งฉากกับ vec{v} ก็ต่อเมื่อ vec{u}cdot vec{v}=0
ผลคูณเชิงเวกเตอร์
ในหัวข้อที่แล้วน้อง ๆ ได้รู้จักกับผลคูณเชิงสเกลาร์ซึ่งเกิดจากการคูณระหว่างเวกเตอร์สองเวกเตอร์แล้วได้ผลลัพธ์เป็น
สเกลาร์กันไปแล้ว ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงการคูณระหว่างเวกเตอร์สองเวกเตอร์แล้วได้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ดูบ้าง
ดังบทนิยามนี้
บทนิยาม
ผลคูณเชิงเวกเตอร์ของ vec{u} และ vec {v} เขียนแทนด้วย vec{u}timesvec{v}
กำหนดโดย vec{u}times vec{v}= (a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})vec{i}-(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})vec{j}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})vec{k}
vec{u}timesvec {v} อ่านว่า เวกเตอร์ยู ครอส เวกเตอร์วี
วิธีการหาผลคูณเชิงเวกเตอร์ (การครอสเวกเตอร์)
วิธีการครอสเวกเตอร์
vec{u}timesvec{v}=begin{vmatrix}vec{i}&vec{j}&vec{k}\a_{1}&a_{2}&a_{3}\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}=begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\b_{2}&b_{3}end{vmatrix}vec{i}-begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\b_{1}&b_{3}end{vmatrix}vec{j}+begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\b_{1}&b_{2}end{vmatrix}vec{k}
=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})vec{i}-(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})vec{j}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})vec{k}ตัวอย่างที่ 12
ให้ vec{u}=begin{bmatrix}2\3\0end{bmatrix} และ vec{v}=begin{bmatrix}1\2\3end{bmatrix} จงหา vec{u}timesvec{v}
วิธีทำ
vec{u}timesvec{v}=begin{vmatrix}vec{i}::vec{j}::vec{k}\2::3::0\ 1::2::3\end{vmatrix} =begin{vmatrix}3:0\2:3end{vmatrix}vec{i}-begin{vmatrix}2:0\1:3end{vmatrix}vec{j}+begin{vmatrix}2:3\1:2end{vmatrix}vec{k}+ =(9-0)vec{i}-(6-0)vec{j}+(4-3)vec{k} =9vec{i}-6vec{j}+vec{k}ทีนี้มาดูหน้าตาของเวกเตอร์ที่ได้จากการ “ครอส” กันเถอะ !!
ลักษณะของผลลัพธ์ของผลคูณเชิงเวกเตอร์
เราสามารถแสดงทิศทางของ vec{u}timesvec{v} โดยใช้กฎของมือขวาได้ดังรูป
และสามารถแสดงทิศทางของ vec{v}timesvec{u} โดยใช้กฎของมือขวาได้ดังรูป
จะสังเกตได้ว่า เมื่อ vec{u} และ vec{v} เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ขนานกัน จะได้ว่าทั้ง
vec{u}timesvec{v} และ vec{v}timesvec{u} เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบของ vec{u} และ vec{v} และทั้งสองมีทิศทางตรงกันข้ามกัน
จึงสรุปได้ว่า vec{u}timesvec{v}=-(vec{v}timesvec{u}) หรือก็คือเป็นนิเสธของกันและกันนั่นเอง
สมบัติต่าง ๆ ของผลคูณเชิงเวกเตอร์
ให้ vec{u}, vec{v} และ vec{w} เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ในระบบพิกัดฉากสามมิติ และ a เป็นจํานวนจริงใด ๆ b
1. vec{u}timesvec{v}=-(vec{v}timesvec{u})
2. (vec{u}+vec{v})timesvec {w}=(vec{u}timesvec {w})+(vec{v}timesvec{w})
3. vec{u}times(vec{v}+vec{w})=(vec{u}timesvec{v})+(vec{u}timesvec{w})
4. vec{u}times (avec{v})=a(vec{u}timesvec{v})
5. (avec{u})times (vec{v})=a(vec{u}timesvec{v})
6. vec{u}timesvec{u} =vec{0}
น้อง ๆ ได้รู้จักหน้าตาและทิศทางของผลคูณเชิงเวกเตอร์กันแล้ว คราวนี้เหลือขนาดของผลคูณเชิงเวกเตอร์ที่เรายังไม่รู้ ไปดูกันดีกว่าว่าเราจะหาขนาดของผลคูณเชิงเวกเตอร์ได้ยังไง
ให้ vec{u} และ vec{v} เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ในระบบพิกัดฉากสามมิติ จะได้ว่า vec{u}timesvec{v} เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับ vec{u} และ vec{v}
และมีขนาดเป็น left | vec{u}times vec{v} right |=left |vec{u} right |left |vec{v} right |sin theta
เมื่อ theta เป็นขนาดของมุมระหว่าง vec{u} และ vec{v} โดยที่
0^{circ }leq thetaleq 180^{circ }
ตัวอย่างที่ 13
ให้ vec{u}=begin{bmatrix}1\2\0end{bmatrix} และ vec{v}=begin{bmatrix}1\1\-2end{bmatrix} จงหาค่าของ sin theta เมื่อ theta เป็นขนาดของมุมระหว่าง vec{u} และ vec{v}
วิธีทำ
vec{u}timesvec{v}=begin{vmatrix}vec{i}&vec{j}&vec{k}\1&2&0\ 1&1&-2\end{vmatrix} =begin{vmatrix}2&0\1&-2end{vmatrix}vec{i}-begin{vmatrix}1&0\1&-2end{vmatrix}vec{j}+begin{vmatrix}1&2\1&1end{vmatrix}vec{k} =(-4-0)vec{i}-(-2-0)vec{j}+(1-2)vec{k} =-4vec{i}+2vec{j}-vec{k}left |vec{u}timesvec{v}right|=sqrt{(-4)^{2}+(2)^{2}+(-1)^{2}}=sqrt{21}
left |vec{u}right|=sqrt{1^{2}+2^{2}+0^{2}}=sqrt{5}
left |vec{v}right|=sqrt{1^{2}+1^{2}+(-2)^{2}}=sqrt{6}
เนื่องจาก left |vec{u}right|neq0,left |vec{v}right|neq0 และ left |vec{u}timesvec{v}right|=left |vec{u}right|left |vec{v}right|sintheta
จะได้ว่า sintheta=frac{left |vec{u}timesvec{v}right|}{left |vec{u}right|left |vec{v}right|}
ดังนั้น sintheta=frac{sqrt{21}}{sqrt{5}sqrt{6}}=sqrt{frac{21}{30}}=sqrt{frac{7}{10}}=frac{sqrt{70}}{10}
การหาพื้นที่และปริมาตร
การใช้เวกเตอร์ในการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ก่อนอื่น ขอทบทวนเรื่องตรีโกณมิติกันนิดนึงน้า ถ้าเรามีรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มุมหนึ่งมีขนาด theta และด้านตรงข้ามมุมฉากยาว a เราจะได้ว่าด้านประชิดมุมและด้านตรงข้ามมุมจะมีความยาวเป็น acos theta และ asintheta ดังรูป
เนื่องจาก ขนาดของเวกเตอร์สามารถแทนด้วยความยาวของเวกเตอร์ในรูปของลูกศรได้ แสดงว่า เราสามารถนำความยาวดังกล่าวมาใช้ในการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานได้ ว่าแต่เราจะประยุกต์ยังไง น้อง ๆ ไปดูกันเลย
กำหนดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD
ให้ vec{u}=overrightarrow{AB},vec{v}=overrightarrow {AD} และ theta เป็นขนาดของมุมระหว่าง vec{u} และ vec{v}
สิ่งที่เราต้องการคือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งมีสูตรว่า ฐาน times สูง
โจทย์กำหนดเวกเตอร์มาให้เพียงอย่างเดียว เราต้องนำเวกเตอร์ที่มีไปหาขนาดก่อนเพื่อไปหาความยาวของด้านต่าง ๆ ต่อได้ โดยเราจะได้ว่าความยาวของฐานสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับ left |vec{u} right | ส่วนความสูงของสี่เหลี่ยมนั้น จากความรู้ตรีโกณมิติที่ทบทวนไปข้างต้นก็จะได้ว่าความสูงของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับ left |vec{v} right |sin theta ดังรูป
จึงสรุปได้ว่า left |vec{u} right |left |vec{v} right |sin theta เป็นพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
แต่เนื่องจาก left | vec{u}times vec{v} right |=left |vec{u} right |left |vec{v} right |sin theta
ดังนั้น left | vec{u}times vec{v} right | จึงเป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานดังกล่าวด้วย
ตัวอย่างที่ 14
จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD เมื่อ overrightarrow{AB}=2vec{i}+vec{j}+5vec{k} และ overrightarrow{AD}=-vec{i}+2vec{j}+3vec{k}
วิธีทำ พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD เท่ากับ left |vec{AB}right |times left |vec{AD}right | เนื่องจาก
vec{AB}timesvec{AD}=begin{vmatrix}vec{i}&vec{j}&vec{k}\2&1&5\-1&2&3\end{vmatrix} =begin{vmatrix}1&5\2&3end{vmatrix}vec{i}-begin{vmatrix}2&5\-1&3end{vmatrix}vec{j}+begin{vmatrix}2&1\-1&2end{vmatrix}vec{k} =(3-10)vec{i}-(6-(-5))vec{j}+(4-(-1))vec{k} =-7vec{i}-11vec{j}+5vec{k}จะได้ left |vec{AB}timesvec{AD}right |=sqrt{(-7)^{2}+(11)^{2}+(5)^{2}}=sqrt{195}
ดังนั้น รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD มีพื้นที่ sqrt{195} ตารางหน่วย
การใช้เวกเตอร์ในการหาปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน
กำหนดทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCDEFGH ให้ vec{u}=overrightarrow{AB},vec{v}=overrightarrow{AD},vec{w}=overrightarrow{AF} และ theta เป็นขนาดของมุมระหว่าง vec{u} และ vec{v}times vec{w} ในที่นี้จะพิจารณารูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ADEF เป็นฐาน และ h เป็นความสูง จะได้ว่า h=left | vec{u} right |left |cos thetaright | ดังรูป
จากสูตรการหาปริมาตรทางสี่เหลี่ยมขนานนั่นคือ พื้นที่ฐาน x สูง
ดังนั้น ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมขนานเท่ากับ left |vec{v}timesvec{w}right |left |vec{u} right |left | costheta right |=|left |vec{u} right |left |vec{v}timesvec{w}right |left | costheta right |
เนื่องจาก vec{u}cdotvec{v}=left |vec{u} right |left |vec{v} right |costheta จึงได้ left |vec{u}cdot(vec{v}timesvec{w})right | (ที่มีการใส่เครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ left |... right | ครอบไว้ทั้งหมด เพราะปริมาตรไม่สามารถเป็นจำนวนจริงลบได้)
ตัวอย่างที่ 15
จงหาปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCDEFGH โดยที่ overrightarrow{AB}=vec{u}=vec{i}+2vec{k},overrightarrow{AD}=vec{v}=2vec{j}+vec{k} และ overrightarrow{AF}=vec{w}=vec{i}+2vec{j}
วิธีทำ เนื่องจากปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับ left |vec{u}cdot(vec{v}timesvec{w})right |
vec{u}timesvec{w}=begin{vmatrix}vec{i}&vec{j}&vec{k}\0&2&1\ 1&2&0\end{vmatrix} =begin{vmatrix}2&1\2&0end{vmatrix}vec{i}-begin{vmatrix}0&1\1&0end{vmatrix}vec{j}+begin{vmatrix}0&2\1&2end{vmatrix}vec{k} =(0-2)vec{i}-(0-1)vec{j}+(0-2)vec{k} =-2vec{i}+vec{j}-2vec{k}จะได้ left |vec{u}cdot(vec{v}timesvec{w})right|=left |(vec{i}+2vec{k})cdot(-2vec{i}+vec{j}-2vec{k})right |
=left | (1)(-2)+(0)(1)+(2)(-2)right |=left |-2-4 right |=6ดังนั้น ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCDEFGH เท่ากับ 6 ลูกบาศก์หน่วย
ดูคลิปติวเรื่อง เวกเตอร์
รวมคลิปติว เวกเตอร์ ม.5
เวกเตอร์ (ปูพื้นฐาน) – 1
เวกเตอร์ (ปูพื้นฐาน) – 2
ติดตามคลิปติวฟรีอื่น ๆ จากพี่ปั้น ได้ทาง YouTube Channel : SmartMathPro
อ่านมาจนถึงตรงนี้ พี่่ว่าน้อง ๆ น่าจะพอเห็นภาพรวมเนื้อหาบท เวกตอร์ ม.5 กันบ้างแล้ว ซึ่งนอกจากการอ่านสรุปและลองทำโจทย์ตามตัวอย่างที่พี่ยกมาข้างต้น พี่ก็แนะนำให้ทุกคนลองทำแบบฝึกหัดบทเวกเตอร์เพิ่มเติมด้วยน้าา เราจะได้เข้าใจเนื้อหามากขึ้น พร้อมลุยกับการสอบทั้งกลางภาคและปลายภาคนั่นเองง
แต่ถ้าใครฝึกทำโจทย์เองแล้ว ยังคงมีจุดที่ไม่เข้าใจอยู่ อยากได้คนช่วยไกด์เรื่องเนื้อหาและฝึกทำโจทย์บทเวกเตอร์ รวมถึงเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย บทอื่น ๆ ด้วยพี่ขอแนะนำคอร์สติวคณิตศาสตร์ ม.4 – 6 แบบบุฟเฟต์สำหรับเสริมเกรด จาก SmartMathPro เลยย สมัครครั้งเดียวคุ้มมากกเรียนได้จนจบ ม.6 พร้อมส่วนลดสูงสุด 35%
โดยในคอร์ส พี่ปูพื้นฐานละเอียด เจาะลึกเฉพาะบท อิงตามหลักสูตร สสวท. ใครพื้นฐานไม่ดีก็เรียนได้สบายมากใครสนใจดูรายละเอียดเพิ่มเติมก็ คลิก ได้เลย
