ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม ม.4 สรุปเนื้อหาพร้อมตัวอย่างโจทย์

น้อง ๆ อาจเคยได้ยินหรือรู้จักกับ “ฟังก์ชัน” กันมาแล้วในบทเรียนก่อนหน้านี้อย่างความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ซึ่งบทเรียนในวันนี้เราก็ยังอยู่ที่คณิต ม.4 เทอม 2 และเป็นบทที่เกี่ยวกับฟังก์ชัน อย่างฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม ม.4

หลายคนพอได้ยินชื่อแล้วอาจจะคิดว่ามันต้องยากแน่ ๆ ใช่มั้ยย แต่พี่จะบอกว่ามันไม่ยากอย่างที่คิดเลย ถ้าเรามีพื้นฐานความรู้เรื่องเลขยกกำลังในระดับ ม.ต้นกับเรื่องความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ซึ่งวันนี้พี่จะมาทวนความรู้เดิมและพาไปทำความเข้าใจเรื่อง  ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม กันแบบจัดเต็ม แถมยังมีตัวอย่างโจทย์และแบบฝึกหัดให้ไปลองทำกันด้วยย

เลขยกกำลัง

น้อง ๆ น่าจะเคยเรียนเรื่องเลขยกกำลังมาแล้ว ตอนม.ต้น เกี่ยวกับความหมายของเลขยกกำลัง การคูณและการหารเลขยกกำลัง การเขียนสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ รวมถึงสมบัติต่าง ๆ ของเลขยกกำลัง ในระดับชั้นม.5 นี้ เราจะมาทบทวนและเรียนเกี่ยวกับความหมายและสมบัติต่าง ๆ ของเลขยกกำลังอีกครั้ง แต่เป็นในแบบที่ท้าทายขึ้น มาลองดูกันเลย

ให้ a เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มบวก a^n=atimes atimes atimes cdots times a ( a คูณกันทั้งหมด n ตัว)
เรียก a^n ว่า เลขยกกำลัง เรียก a ว่า ฐานของเลขยกกำลัง และเรียก n ว่า เลขชี้กำลัง

สมบัติเลขยกกำลัง

กำหนดให้ a, b เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ และ m, n เป็นจำนวนตรรกยะ
• a^0=1
• a^{-n}=frac{1}{a^n}
• a^mcdot a^n=a^{m+n}
• frac{a^m}{a^n} =a^{m-n}
• left (a^m right )^{n}=a^{mn}
• left ( ab right )^{n}=a^ncdot b^n
• left (frac{a}{b} right )^{n}=frac{a^n}{b^n}

เราจะนำสมบัติเลขยกกำลังมาใช้เพื่อหาค่าหรือจัดรูป ลองมาดูการใช้สมบัติผ่านตัวอย่างนี้กัน

ตัวอย่างที่ 1 จงเขียน frac{left ( 27^2times 9^{-2} right )^{3}}{3^{15}} ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย และเลขยกกำลังทุกตัวมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก
วิธีทำ

frac{left ( 27^2times 9^{-2} right )^{3}}{3^{15}}
=frac{left ( left ( 3^3 right )^2times ( left ( 3^2 right )^{-2} right )^{3}}{3^{15}}
=frac{3^{18}times 3^{-12}}{3^{15}}
=frac{3^{18}}{3^{27}}
=frac{1}{3^{9}}

รากที่ n ของจำนวนจริง และจำนวนจริงที่อยู่ในรูปกรณฑ์

บทนิยาม
กำหนดให้ x และ y เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1

รากที่ n ของจำนวนจริง

y เป็นรากที่ n ของ x ก็ต่อเมื่อ y^n=x

ค่าหลักของรากที่ n

y เป็นค่าหลักของรากที่ n ของ x ก็ต่อเมื่อ
y เป็นรากที่ n ของ x และ xygeq 0

จากบทนิยาม จะได้ว่า
• รากที่ 2 ของ 9 คือ 3 และ -3
• รากที่ 5 ของ -32 คือ -2
• ค่าหลักของรากที่ 2 ของ 36 คือ 6
• sqrt{36}=6
จะเห็นได้ว่า ค่าหลักของรากที่ n ของ x และ กรณฑ์ที่ n ของ x นั่นคือ left (sqrt[n]{x} right ) จะมีค่าเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 2 frac{sqrt{4}cdot sqrt[3]{5^3}}{sqrt[3]{-8}}+sqrt{left ( -7 right )^{2}} เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ frac{sqrt{4}cdot sqrt[3]{5^3}}{sqrt[3]{-8}}+sqrt{left ( -7 right )^{2}}
=frac{2cdot 5}{-2}+sqrt{49}
=-5+7
=2

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป left { (x,y) in mathbb{Rtimes mathbb{R}}|y=a^{x}right }
โดยที่ a เป็นจำนวนจริง ซึ่ง a>0 และ aneq 1

พิจารณาลักษณะกราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพแนนเชียล

จากกราฟน้องจะเห็นว่าฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลดนั้นขึ้นอยู่กับค่า a

ตัวอย่างที่ 3 จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน f(x)=3^{x} และ g(x)=left ( frac{1}{3} right )^{x} ลงในระบบพิกัดฉากเดียวกัน

จากกราฟที่เราได้ น้องจะเห็นว่า f(x)=3^{x} เป็นฟังก์ชันเพิ่มเพราะ a มีค่ามากกว่า 1 และ g(x)=left ( frac{1}{3} right )^{x} เป็นฟังก์ชันลดเพราะ a มีค่าอยู่ระหว่าง 0 กับ 1 นั่นเอง

ตัวอย่างที่ 4 กำหนดฟังก์ชัน f(x)=2^{x} จงพิจารณาว่ากราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้เกิดจากการเลื่อนจุดทุกจุดของฟังก์ชัน f(x) อย่างไร
1. g(x)=2^{x}+1
ตอบ กราฟของ g(x) คือกราฟของ f(x) ที่เลื่อนจุดทุกจุดขึ้น 1 หน่วย

2. h(x)=2^{x+1}
ตอบ กราฟของ h(x) คือกราฟของ f(x) ที่เลื่อนจุดทุกจุดไปทางซ้าย 1 หน่วย

การเลื่อนกราฟไม่ใช่เรื่องยากอย่างที่คิดนะ และพี่ก็ได้สรุปเรื่องการเลื่อนกราฟมาให้แล้ว มาดูกันเลย

กราฟ y=a^{(x-h)}+k คือการเลื่อนกราฟ y=a^{x} ดังนี้

• ถ้า

h[katex] มีค่าเป็นบวกจะเลื่อนจุดทุกจุดไปทางขวา [katex]h[katex] หน่วย</li> <li>ถ้า [katex]h[katex] มีค่าเป็นลบจะเลื่อนจุดทุกจุดไปทางซ้าย [katex]h[katex] หน่วย</li> <li>ถ้า [katex]k[katex] มีค่าเป็นบวกจะเลื่อนจุดทุกจุดขึ้น [katex]k[katex] หน่วย</li> <li>ถ้า [katex]k[katex] มีค่าเป็นลบจะเลื่อนจุดทุกจุดลง [katex]k[katex] หน่วย</li> </ul> <p>หลังจากที่เรารู้จักว่าฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลไปแล้ว เรามารู้จักสมการและอสมการเอกซ์โพแนนเชียลกันบ้าง ซึ่งก็คือสมการและอสมการที่มี<strong>เลขชี้กำลังเป็นตัวแปร</strong>นั่นเอง ในการแก้สมการและอสมการจะใช้สมบัติความเป็นฟังก์ชัน 1-1 ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลดด้วยน้า</p> <h3>สมการเอกซ์โพแนนเชียล</h3> <p><strong>หลักการแก้สมการเอกซ์โพแนนเชียล มีดังนี้</strong> • ให้ [katex]a>0

และ aneq 1 จะได้ว่า a^{x}=a^{y} ก็ต่อเมื่อ x=y
• ให้ a,b>0 โดยที่ aneq b ถ้า a^{x}=b^{x} แล้ว x=0

สรุปง่าย ๆ ก็คือถ้าฐานมีค่าเท่ากันแล้วเลขชี้กำลังจะมีค่าเท่ากัน และถ้าเลขชี้กำลังมีค่าเท่ากันแต่ฐานมีค่าไม่เท่ากันแล้วเลขชี้กำลังจะเท่ากับ 0 นั่นเอง

ตัวอย่างที่ 5 จงหาเซตคำตอบของสมการต่อไปนี้
1. 2^{2x}=4^{8}
วิธีทำ จะได้ว่า 2^{2x}=(2^{2})^{8}
2^{2x}=2^{16}
2x=16
x=8
ดังนั้น เซตคำตอบของสมการ คือ left { 8 right }

2. 3^{10x+2}=4^{5x+1}
วิธีทำ จะได้ว่า 3^{10x+2}=(2^{2})^{5x+1}
3^{10x+2}=2^{10x+2}
10x+2=0
x=-frac{1}{5}
ดังนั้น เซตคำตอบของสมการ คือ left {-frac{1}{5} right }

อสมการเอกซ์โพแนนเชียล

หลักการแก้อสมการเอกซ์โพแนนเชียล มีดังนี้
1. อสมการ a^{m}>a^{n}

• ถ้า a>1 แล้ว m>n
• ถ้า 0<a<1 แล้ว m<n

2. อสมการ a^{m}<a^{n}

• ถ้า a>1 แล้ว m<n
• ถ้า 0<a<1 แล้ว m>n

สังเกตได้ว่า ถ้าฐานมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 จะต้องกลับเครื่องหมายของอสมการด้วยน้า

ตัวอย่างที่ 6 จงหาคำตอบของอสมการต่อไปนี้
1. 10^{3x}>1000
วิธีทำ จะได้ว่า 10^{3x}>10^{3}
3x>3
ดังนั้น x>1

2. left (frac{1}{3} right )^{2x+1}<frac{1}{27}
วิธีทำ จะได้ว่า left (frac{1}{3} right )^{2x+1}<left (frac{1}{3} right )^{3}
2x+1>3
2x>2
ดังนั้น x>1

ฟังก์ชันลอการิทึม

ฟังก์ชันลอการิทึม คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป left {(x, y)in mathbb{R}^+times mathbb{R} mid y=log_a{x} right }
โดยที่ a เป็นจำนวนจริง ซึ่ง a>0 และ a neq 1
ฟังก์ชันลอการิทึม คือ ตัวผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล นั่นคือ
x=a^y ก็ต่อเมื่อ y=log_a{x}

ลักษณะกราฟของฟังก์ชันลอการิทึมเป็นดังนี้

จากกราฟ น้องจะเห็นว่าฟังก์ชันลอการิทึมจะเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลดนั้นขึ้นอยู่กับค่า a

ตัวอย่างที่ 7  กำหนด f(x)=log_2{x} จงพิจารณาว่ากราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้เกิดจากการเลื่อนจุดทุกจุดของฟังก์ชัน f(x) อย่างไร
แนวคิด ใช้วิธีการเลื่อนกราฟคล้ายตัวอย่างที่ 4 เลย !

1. g(x)=log_{2}(x)-1
   ตอบ กราฟของ g(x) คือกราฟของ f(x) ที่เลื่อนจุดทุกจุดลง 1 หน่วย
2. h(x)=log_2{(x-1)}
   ตอบ กราฟของ h(x) คือกราฟของ f(x) ที่เลื่อนจุดทุกจุดไปทางขวา 1 หน่วย
   ขวา 1 หน่วย

สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม

ให้ a, M และ N เป็นจำนวนจริงบวกที่ aneq1
และ k เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า

• log_a{a}=1 และ log_a{1}=0
• log_a{MN}=log_a{M}+log_a{N}
• log_a{frac{M}{N}}=log_a{M}-log_a{N}
• log_a{M^k}=klog_a{M}
• log_{a^k}{M}=frac{1}{k}log_a{M}
  เมื่อ kneq0
• log_a{b}=frac{1}{log_b{a}}
  เมื่อ b>0 และ bneq1
• log_a{M}=frac{log_c{M}}{log_c{a}}
  เมื่อ c>0 และ cneq1
• a^{log_b{c}}=c^{log_b{a}}

ตัวอย่างที่ 8 จงหาค่าของ log_4{32}+log_4{2}
วิธีทำ
log_4{32}+log_4{2}
=log_4{32times 2}
=log_4{64}
=log_2{4^3}
=3times log_2{4}
=3times 4
=12

มุมความรู้

เมื่อ log ไม่ได้เขียนเลขฐานจะถือว่าเป็น ฐาน 10

สมการลอการิทึม

หลักการแก้สมการลอการิทึม มีดังนี้
1. ให้ a>0 และ aneq1 จะได้ว่า log_a{x}=log_a{y} ก็ต่อเมื่อ x=y
2. จาก log_a{x}=y จะได้ว่า x=a^y

ตัวอย่างที่ 9 จงหาเซตคำตอบของสมการ log(x-1)+log(x+2)=1
วิธีทำ
log(x-1)+log(x+2)=1
(x-1)(x+2)=10
x^2+x-2=10
x^2+x-12=0
(x+4)(x-3)=0
จะได้ว่า x=-4 หรือ x=3

ตรวจสอบค่า x ที่ได้ว่าค่าใดสอดคล้องกับสมการที่กำหนดให้

• กรณี x=-4
  แทน x=-4 ใน log(x-1)+log(x+2)=1
  จะได้ log(-5)+log(-2)=1 เป็นเท็จ
  เนื่องจากไม่นิยาม y=log_a{x} เมื่อ x ไม่เป็นจำนวนจริงบวก
  แสดงว่า -4 ไม่สอดคล้องกับสมการที่กำหนดให้
• กรณี x=3
  แทน x=3 ใน log(x-1)+log(x+2)=1
  จะได้ log(2)+log(5)=log(5times2)=log10=1 เป็นจริง
  แสดงว่า 3 สอดคล้องกับสมการที่กำหนดให้

ดังนั้น เซตคำตอบของสมการ คือ left { 3 right }

ระวัง!! อย่าลืมเช็คเสมอว่าคำตอบที่ได้จากการแก้สมการ ทำให้หลัง log ติดลบหรือไม่ด้วยน้าา

อสมการลอการิทึม

หลักการแก้อสมการลอการิทึม มีดังนี้
1. อสมการ log_a{m} > log_a{n}
• ถ้า a>1 แล้ว m>n
• ถ้า 0<a<1 แล้ว m<n
2. อสมการ log_a{m} < log_a{n}
• ถ้า a>1 แล้ว m<n
• ถ้า 0<a<1 แล้ว m>n

ตัวอย่างที่ 10 จงหาเซตคำตอบของอสมการ log_frac{1}{2}(x+2)-log_frac{1}{2}(x+1)<2
วิธีทำ
log_frac{1}{2}(x+2)-log_frac{1}{2}(x+1)<2
log_{frac{1}{2}}left (frac{x+2}{x+1} right )<2log_{frac{1}{2}}left (frac{1}{2} right )
log_{frac{1}{2}}left (frac{x+2}{x+1} right )<log_{frac{1}{2}}left (frac{1}{2} right )^2
log_{frac{1}{2}}left (frac{x+2}{x+1} right )<log_{frac{1}{2}}left (frac{1}{4} right )

เนื่องจาก f(x)=log_frac{1}{2}{x} เป็นฟังก์ชันลด
frac{x+2}{x+1}>frac{1}{4}
frac{x+2}{x+1}-frac{1}{4}>0
frac{4(x+2)-(x+1)}{4(x+1)}>0
frac{3x+7}{4x+4}>0

จะได้ x<-frac{7}{3} และ x>-1
เนื่องจาก อสมการที่กำหนดให้มีพจน์ log_frac{1}{2}(x+2) และ log_frac{1}{2}(x+1)
จะได้ว่า x>-2 และ x>-1
นั่นคือ x>-1

ดังนั้น เซตคำตอบของอสมการ คือ left ( -1, infty right )

ระวัง !! อย่าลืมเช็คเสมอว่าคำตอบที่ได้จากการแก้อสมการ ทำให้หลัง log ติดลบหรือไม่ด้วยน้าา และถ้าฐานน้อยกว่า 1 แต่มากกว่า 0 แล้ว ต้องกลับเครื่องหมายอสมการนั้นด้วยนะ

ดูคลิปติวฟรี ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม ม.4

ดูคลิปติวฟรีอื่น ๆ ได้ที่ YouTube : SmartMathPro

เป็นยังไงบ้างสำหรับสรุปเนื้อหาที่พี่เอามาฝากน้อง ๆ ทุกคนในวันนี้ ใครที่ยังไม่เข้าใจก็สามารถไปดูคลิปติวฟรีของพี่ใน Youtube ได้นะ หรือจะกลับไปทบทวนความรู้เดิมจากบทเลขยกกำลังในคณิต ม.ต้น กับบทเรียนก่อนหน้าอย่าง
ความสัมพันธ์และฟังก์ชันก็ได้ จะได้แม่นเนื้อหากันมากขึ้น

นอกจากนี้วิธีที่พี่อยากแนะนำเพิ่มคือ ให้ลองฝึกทำโจทย์ เพื่อเป็นการทบทวนความเข้าใจของตัวเอง ซึ่งถ้าใครไม่รู้จะไปหาโจทย์จากไหนมาฝึกทำซ้อมมือ ก็สามารถเข้าไปดาวน์โหลดข้อสอบได้ในคลังข้อสอบเลยย ค่อย ๆ ทำความเข้าใจกันไปน้า ไม่ต้องรีบหรือเร่งตัวเองมากเกินไป

และสำหรับใครที่กำลังมองหาคอร์สติวคณิต ม.ปลาย ที่มีครบทุกบท พี่ขอแนะนำคอร์สติวคณิต ม.4 - 6 แบบบุฟเฟต์สำหรับเสริมเกรด จาก SmartMathPro เลยย สมัครครั้งเดียวคุ้มมากก เรียนได้จนจบม.6 พร้อมส่วนลดสูงสุด 35%

โดยในคอร์ส พี่ปูพื้นฐานละเอียด เจาะลึกเฉพาะบท อิงตามหลักสูตร สสวท. ใครพื้นฐานไม่ดีก็เรียนได้สบายมากใครสนใจดูรายละเอียดเพิ่มเติมก็ คลิก ได้เลย