ลำดับและอนุกรม ม.6 คืออะไร สรุปเนื้อหาพร้อมตัวอย่างโจทย์และวิธีทำ

มีน้อง ๆ คนไหนกำลังเรียนอยู่ชั้น ม.6 หรือกำลังเตรียมตัวเลื่อนชั้น แล้วกำลังกังวลว่าคณิต ม.6 จะยากมาก ๆ กันอยู่หรือเปล่าา ต้องบอกก่อนว่าเนื้อหาคณิต ม.6 เป็นเนื้อหาที่ต่อยอดมาจากคณิต ม.4 กับคณิต ม.5 นี่แหละ

โดยสรุปเนื้อหาคณิต ม.6 ที่พี่เอามาฝากวันนี้ก็เป็นเรื่อง ลำดับและอนุกรม นั่นเอง ซึ่งพี่จะมาไขข้อสงสัยว่า ลำดับเลขคณิต, ลำดับเรขาคณิต, อนุกรมเลขคณิต, อนุกรมเรขาคณิต คืออะไร ? รวมถึงมีตัวอย่างโจทย์ วิธีทำ และแบบฝึกหัดให้ดาวน์โหลดฟรีที่ท้ายบทความด้วย ถ้าทุกคนพร้อมแล้ว ไปดูกันเลยยยย

ลำดับและอนุกรม ม.6

ลำดับ

ความหมายของลำดับ

บทนิยาม
ลำดับ (sequence) คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซต left { 1,2,3,...,n right } หรือมีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก

ในการเขียนแสดงลำดับ
เรียก a_{1} ว่า พจน์ที่ 1 ของลำดับ
เรียก a_{2} ว่า พจน์ที่ 2 ของลำดับ
เรียก a_{3} ว่า พจน์ที่ 3 ของลำดับ
vdots
และเรียก a_{n} ว่า พจน์ที่ n ของลำดับ หรือพจน์ทั่วไปของลำดับ

ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนสี่พจน์แรกของลำดับ a_{n}= 2n+1

วิธีทำ

\a_{1}= 2left ( 1 right )+1= 3 \ a_{2}= 2left ( 2 right )+1= 5 \ a_{3}= 2left ( 3right )+1= 7 \ a_{4}= 2left ( 4 right )+1= 9

ดังนั้น สี่พจน์แรกของลำดับ คือ 3, 5, 7, 9

ลำดับจำกัดและลำดับอนันต์

ลำดับจำกัด (finite sequence) คือ ลำดับที่มีโดเมนเป็นเซต left { 1,2,3,...,n right } ซึ่งเขียนแสดงลำดับจำกัด ด้วย a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}

ลำดับอนันต์ (infinite sequence) คือ ลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก ซึ่งเขียนแสดงลำดับอนันต์ ด้วย a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n},...

ลำดับเลขคณิต

บทนิยาม
ลำดับเลขคณิต (arithmetic sequence) คือ ลำดับซึ่งมีผลต่างที่ได้จากการนำพจน์ที่ n+1 ลบด้วยพจน์ที่ n เป็นค่าคงตัวที่เท่ากัน

สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n และเรียกค่าคงตัวที่เป็นผลต่างนี้ว่า ผลต่างร่วม (common difference:d)

ถ้าลำดับ a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}เป็นลำดับเลขคณิต แล้ว d=a_{n+1}-a_{n} สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n

ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลต่างร่วม (d) ของลำดับเลขคณิตต่อไปนี้
1) 2,5,8,…
จะได้ว่า d=3

2) 2,2,2,…
จะได้ว่า d=0

3) 15,10,5,0,…
จะได้ว่า d=-5

สูตรพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต

ให้ a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n} เป็นลำดับเลขคณิต จะมีพจน์ทั่วไปของลำดับ คือ

a_{n}=a_{1}+left ( n-1 right )d

ตัวอย่างที่ 3 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต 3,7,11,…

วิธีทำ

จาก a_{1}=3 และ a_{2}=7
จะได้ว่า d=a_{2}-a_{1}=7-3=4
จาก a_{n}=a_{1}+left ( n-1 right )d
จะได้ว่า

a_{n}=3+(n-1)(4) \a_{n}=3+4n-4 \a_{n}=4n-1

ดังนั้น พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต 3,7,11,… คือ a_{n}=4n-1

ลำดับเรขาคณิต

บทนิยาม
ลำดับเรขาคณิต (geometric sequence) คือ ลำดับซึ่งมีอัตราส่วนของพจน์ที่ n+1 ต่อพจน์ที่ n เป็นค่าคงตัวที่เท่ากัน สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n และเรียกค่าคงตัวที่เป็นอัตราส่วนนี้ว่า อัตราส่วนร่วม (common ratio: r)

ถ้าลำดับ a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n} เป็นลำดับเรขาคณิต แล้ว r=frac{a_{n+1}}{a_{n}} สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n

ตัวอย่างที่ 4 จงหาอัตราส่วนร่วม (r) ของลำดับเรขาคณิตต่อไปนี้
1) 2,4,8,…
จะได้ว่า r=2

2) frac{1}{3},frac{1}{9},frac{1}{27},...
จะได้ว่า r=frac{1}{3}

3) 3,3,3,…
จะได้ว่า r=1

สูตรพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต

ให้ a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n} เป็นลำดับเรขาคณิต จะมีพจน์ทั่วไปของลำดับ คือ

a_{n}=a_{1}r^{n-1}

ตัวอย่างที่ 5 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต 1,4,16,…

วิธีทำ

จาก a_{1}=1 และ a_{2}=4

จะได้ว่า r=frac{a_{2}}{a_{1}}=frac{4}{1}=4

จาก a_{n}=a_{1}r^{n-1}

จะได้ว่า a_{n}=(1)(4)^{n-1}

a_{n}=4^{n-1}

ดังนั้น พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต 1,4,16,… คือ a_{n}=4^{n-1}

ลิมิตของลำดับอนันต์

ความหมายของลิมิตของลำดับอนันต์

บทนิยาม

ให้ a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n},... เป็นลำดับอนันต์ ถ้า n มากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด

แล้ว a_{n} เข้าใกล้หรือเท่ากับจำนวนจริง L เพียงจำนวนเดียวเท่านั้น จะเขียน

  a_{n}=L และจะเรียก L ว่า ลิมิตของลำดับ

ลำดับลู่เข้า คือ ลำดับอนันต์ที่มีลิมิต และลำดับลู่ออก คือ ลำดับอนันต์ที่ไม่ใช่ลำดับลู่เข้า

ตัวอย่างที่ 6 จงพิจารณาว่าลำดับต่อไปนี้เป็นลำดับลู่เข้าหรือลำดับลู่ออก
1) 3,3,3,…
ตอบ เป็นลำดับลู่เข้า

2) -6,-3,0,…
ตอบ เป็นลำดับลู่ออก

3) a_{n}=frac{1}{4n}
ตอบ เป็นลำดับลู่เข้า

สมบัติของลิมิตของลำดับอนันต์

ให้ a_{n},b_{n},t_{n} เป็นลำดับของจำนวนจริง A,B เป็นจำนวนจริง และ c เป็นค่า

คงตัวใด ๆ โดยที่ a_{n}=A และ b_{n}=B จะได้ว่า

• ถ้า t_{n}=c ทุกจำนวนเต็มบวก n แล้ว t_{n}=   c=c

• ca_{n}=c  a_{n}=cA

• left ( a_{n}pm b_{n} right )= a_{n}pm  b_{n}=Apm B

• left ( a_{n}cdot b_{n} right )= a_{n}cdot  b_{n}=Acdot B

• ถ้า b_{n}neq 0 ทุกจำนวนเต็มบวก n และ Bneq 0 แล้ว

• ให้ m เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 แล้ว

ตัวอย่างที่ 7 จงหาลิมิตของลำดับ เมื่อ a_{n}=frac{3n-2}{n}
วิธีทำ
left ( frac{3n-2}{n} right )

= left ( frac{3n}{n} -frac{2}{n}right )

= frac{3n}{n}- frac{2}{n}

= 3 - frac{2}{n}
=3-0=3

อนุกรมจำกัด

ความหมายของอนุกรมจำกัด

บทนิยาม

ถ้า a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n} เป็นลำดับจำกัดที่มี n พจน์ จะเรียกการเขียนแสดงการบวกของทุกพจน์

ของลำดับในรูป a_{1}+a_{2}+a_{3}+cdots+a_{n} ว่า อนุกรมจำกัด (finite series)

เราจะเรียก a_{n} ว่า พจน์ที่ n ของอนุกรม และให้ S_{n} แทนผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม

พิจารณาลำดับต่อไปนี้

1,3,5,7,9,11

จะได้ว่า

S_{6}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}
=1+3+5+7+9+11
=36

อนุกรมเลขคณิต

จากสองสูตรของอนุกรมเลขคณิต จะเห็นว่าสูตรแรกเราจะใช้เมื่อเราทราบพจน์แรกและพจน์ที่ n ส่วนสูตรที่สองเราจะใช้เมื่อไม่ทราบพจน์ที่ n

ตัวอย่างที่ 8 จงหาผลบวกของอนุกรมเลขคณิต 4+7+10+cdots +31

วิธีทำ
ขั้นตอนที่ 1 หาค่า n
จาก a_{1}=4,a_{n}=31 และ d=7-4=3

จากสูตรพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตคือ a_{n}=a_{1}+left ( n-1 right )d
จะได้ว่า

\31=4+(n-1)(3) \31=4+3n-3 \30=3n \n=10

ขั้นตอนที่ 2 หาผลบวกของอนุกรมเลขคณิต

จากสูตรอนุกรมเลขคณิต S_{n}=frac{n}{2}left ( a_{1}+a_{n} right )

จะได้ว่า S_{10}=frac{10}{2}left ( 4+31 right )=5(35)=175

อนุกรมเรขาคณิต

น้องจะเห็นว่าสูตรเรขาคณิตมี 2 สูตรซึ่งเราแยกออกมาเป็น 2 สูตรเพื่อให้ตัวส่วนเป็นบวกและง่ายต่อการคิด แต่จริง ๆ แล้วเราสามารถจำสูตรเดียวได้เลยน้า ได้ค่าเท่ากันเลย

ตัวอย่างที่ 9 จงหาผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต 800+400+200+cdots +25

วิธีทำ
ขั้นตอนที่ 1 หาค่า n
จาก a_{1}=800 และ r=frac{400}{800}=frac{1}{2}

จากสูตรพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตคือ a_{n}=a_{1}r^{n-1}
จะได้ว่า

\25=800left ( frac{1}{2} right )^{n-1} \frac{1}{32}=left ( frac{1}{2} right )^{n-1} \left ( frac{1}{2} right )^{5}=left ( frac{1}{2} right )^{n-1}

5=n-1
n=6

ขั้นตอนที่ 2 หาผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต
จากสูตรอนุกรมเรขาคณิต S_{n}=frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r}

จะได้ว่า S_{6}=frac{800(1-(frac{1}{2})^{6})}{1-frac{1}{2}}=frac{800(frac{63}{64})}{frac{1}{2}}=1575

อนุกรมอนันต์

ความหมายของอนุกรมอนันต์

อนุกรมอนันต์ คือ อนุกรมของลำดับอนันต์
กำหนดอนุกรมอนันต์ a_{1}+a_{2}+a_{3}+cdots +a_{n}+cdots

ให้ S_{1},S_{2},S_{3},...,S_{n},... เป็นลำดับของผลบวกย่อยของอนุกรมนี้

อนุกรมลู่เข้า ก็ต่อเมื่อ S_{n} เป็นลำดับลู่เข้า หรือกล่าวได้ว่า S_{n}=S เมื่อ S เป็นจำนวนจริง
และเรียก S ว่าผลบวกของอนุกรมอนันต์

อนุกรมลู่ออก ก็ต่อเมื่อ S_{n} เป็นลำดับลู่ออก หรือกล่าวได้ว่า S_{n} ไม่มีค่า

อนุกรมเรขาคณิตอนันต์

ตัวอย่างที่ 10 จงพิจารณาว่าอนุกรม 1+frac{1}{3}+frac{1}{9}+cdots +frac{1}{3^{n-1}}+cdots เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออก ถ้าเป็นอนุกรมลู่เข้า จงหาผลบวกของอนุกรม

วิธีทำ

พิจารณา 1+frac{1}{3}+frac{1}{9}+cdots +frac{1}{3^{n-1}}+cdots

จะได้ว่า r=frac{1}{3} ซึ่ง left | r right |=left | frac{1}{3} right |=frac{1}{3}<1

ดังนั้น อนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่เข้า

โดยผลบวกของอนุกรมเท่ากับ frac{a_{1}}{1-r}=frac{1}{1-frac{1}{3}}=frac{1}{frac{2}{3}}=frac{3}{2}

อนุกรมรูปแบบพิเศษ

อนุกรมเทเลสโคปิก

อนุกรมเทเลสโคปิก คือ อนุกรมที่สามารถจัดให้อยู่ในรูปของ a_{n}-a_{n+1} ได้ ให้น้อง ๆ จัดรูปให้เป็นเศษส่วนย่อย โดยมีสูตรคือ

frac{1}{ab}=(frac{1}{b-a})(frac{1}{a}-frac{1}{b})

เราลองไปดูการหาผลบวกของอนุกรมเทเลสโคปิก และใช้สูตรผ่านตัวอย่างต่อไปนี้กัน

ตัวอย่างที่ 11 จงหาผลบวกของอนุกรม frac{1}{3times 6}+frac{1}{6times 9}+frac{1}{9times 12}+cdots +frac{1}{27times 30}

วิธีทำ frac{1}{3times 6}+frac{1}{6times 9}+frac{1}{9times 12}+cdots +frac{1}{27times 30}
=(frac{1}{3})(frac{1}{3}-frac{1}{6})+(frac{1}{3})(frac{1}{6}-frac{1}{9})+(frac{1}{3})(frac{1}{9}-frac{1}{12})+cdots +(frac{1}{3})(frac{1}{27}-frac{1}{30})
=(frac{1}{3})[(frac{1}{3}-frac{1}{6})+(frac{1}{6}-frac{1}{9})+(frac{1}{9}-frac{1}{12})+cdots +(frac{1}{27}-frac{1}{30})]
=(frac{1}{3})(frac{1}{3}-frac{1}{30})
=(frac{1}{3})(frac{9}{30})
=frac{1}{10}

อนุกรมผสม

อนุกรมผสมมีหลายรูปแบบ เช่น อนุกรมผสมระหว่างอนุกรมเลขคณิตกับอนุกรมเรขาคณิต อนุกรมผสมระหว่างอนุกรมเลขคณิตกับอนุกรมอนันต์ เป็นต้น และด้วยรูปแบบที่ไม่ตายตัวของอนุกรมผสม ทำให้วิธีการหาค่าของอนุกรมผสมมีหลากหลาย แต่ไม่ยากเกินความสามารถน้อง ๆ แน่นอนนน

ตัวอย่างที่ 12 จงหาผลบวกของอนุกรม frac{1}{2}+frac{3}{4}+frac{5}{8}+frac{7}{16}+frac{9}{32}+frac{11}{64}

วิธีทำ กำหนดให้ S=frac{1}{2}+frac{3}{4}+frac{5}{8}+frac{7}{16}+frac{9}{32}+frac{11}{64}
นำ frac{1}{2} คูณทั้งสองข้างของสมการ

จะได้ว่า frac{1}{2}S=frac{1}{4}+frac{3}{8}+frac{5}{16}+frac{7}{32}+frac{9}{64}+frac{11}{128}

ดังนั้น

S-frac{1}{2}S=left (frac{1}{2}+frac{3}{4}+frac{5}{8}+frac{7}{16}+frac{9}{32}+frac{11}{64} right )-left (frac{1}{4}+frac{3}{8}+frac{5}{16}+frac{7}{32}+frac{9}{64}+frac{11}{128} right ) frac{1}{2}S=frac{1}{2}+frac{2}{4}+frac{2}{8}+frac{2}{16}+frac{2}{32}+frac{2}{64}-frac{11}{128}

เนื่องจาก frac{2}{4}+frac{2}{8}+frac{2}{16}+frac{2}{32}+frac{2}{64} เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี a_{1}=frac{2}{4}=frac{1}{2},r=frac{1}{2} และ n=5
และผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต คือ S_{n}=frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r}

ดังนั้น

frac{2}{4}+frac{2}{8}+frac{2}{16}+frac{2}{32}+frac{2}{64}=frac{frac{1}{2}(1-(frac{1}{2})^{5})}{1-frac{1}{2}}=frac{31}{32}

จะได้ว่า frac{1}{2}S=frac{1}{2}+frac{31}{32}-frac{11}{128}=frac{177}{128}

ดังนั้น S=(frac{177}{128})(2)=frac{177}{64}

สัญลักษณ์แสดงการบวก

เพื่อความสะดวกในการเขียนอนุกรม เราจะใช้อักษรกรีก sum (อ่านว่า ซิกมา) เป็นสัญลักษณ์แสดงการบวก

สามารถเขียนได้เป็น sum_{i=1}^{n}a_{i} หรือ sum_{i=1}^{infty }a_{i} แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นตัวแปร i น้า และสามารถเริ่มต้นที่ใด ๆ ก็ได้ ไม่จำเป็นต้องเริ่มที่ 1 เช่น sum_{n=0}^{3}(n+2)=2+3+4+5

สมบัติของซิกมา

กำหนดให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ จะได้ว่า

1) sum_{i=1}^{n}c=nc เมื่อ c เป็นค่าคงตัว

2) sum_{i=1}^{n}ca_{i}=csum_{i=1}^{n}a_{i}เมื่อ c เป็นค่าคงตัว

3) sum_{i=1}^{n}(a_{i}pm b_{i})=sum_{i=1}^{n}a_{i}pm sum_{i=1}^{n}b_{i}

จากสมบัติของซิกมา จะเห็นว่าเราสามารถกระจายซิกมาเข้าไปในการบวกและลบได้ แต่เราไม่สามารถกระจายเข้าไปในการคูณและการหารได้ ระวังด้วยน้า

ตัวอย่างที่ 13 จงหา sum_{i=1}^{4}(i^{2}-i)

วิธีทำ sum_{i=1}^{4}(i^{2}-i)=sum_{i=1}^{4}i^{2}-sum_{i=1}^{4}i
=(1+4+9+16)-(1+2+3+4)
=30-10
=20

ดอกเบี้ยและมูลค่าเงิน

ในบทนี้ เราสามารถนำความรู้เรื่องลำดับและอนุกรมมาประยุกต์ใช้ในการคิดดอกเบี้ยและมูลค่าเงินได้ด้วย ลองไปดูกันเลย

ดอกเบี้ยทบต้น

เราจะใช้ทั้งสองสูตรนี้ในการคำนวณหาเงินรวม โดยสูตรที่ต่างกันขึ้นกับว่าเป็นการคิดดอกเบี้ยทบต้นปีละ 1 ครั้ง หรือปีละหลายครั้ง

มูลค่าของเงิน

ค่างวด

เงินฝาก

ถ้ารวมเงินทั้งหมดเข้าด้วยกัน จะเรียกว่า เงินรวม ใช้ในเรื่องการฝากประจำ

จากรูป เงินรวมของต้นงวด: R(1+r)+R(1+r)^{2}+R(1+r)^{3}+R(1+r)^{4}

เงินรวมของสิ้นงวด: R+R(1+r)+R(1+r)^{2}+R(1+r)^{3}

ลองไปดูการคิดเงินรวมจากตัวอย่างต่อไปนี้กัน

ตัวอย่างที่ 14 จอร์จเก็บเงินเดือนละ 2,000 บาท เป็นเวลา 6 เดือน โดยฝากธนาคารทุกต้นเดือน อยากทราบว่าเมื่อสิ้นเดือนที่ 6 จอร์จจะมีเงินเก็บเท่าใด หากธนาคารคิดดอกเบี้ย 24% ต่อปี และดอกเบี้ยคิดทบต้นทุกเดือน

วิธีทำ i=frac{24}{12}=2 จะได้ i=frac{2}{100}=0.02

S_{6}=frac{2000(1.02)(1.02^{6}-1)}{1.02-1}=12,868.57

ดังนั้น จอร์จจะมีเงินเก็บ 12,868.57 บาท

ตัวอย่างที่ 15 จุ้ยเก็บเงินเดือนละ 2,000 บาท เป็นเวลา 6 เดือน โดยฝากธนาคารทุกสิ้นเดือน อยากทราบว่าเมื่อสิ้นเดือนที่ 6 จุ้ยจะมีเงินเก็บเท่าใด หากธนาคารคิดดอกเบี้ย 6 ต่อปี และดอกเบี้ยคิดทบต้นทุกเดือน

วิธีทำ i=frac{24}{12}=2 จะได้ i=frac{2}{100}=0.02
S_{6}=frac{2000(1.02^{6}-1)}{1.02-1}=12,616.24

ดังนั้น จุ้ยจะมีเงินเก็บ 12,616.24 บาท

จากตัวอย่างที่ 14 และ 15 เราจะได้ว่าการฝากเงินที่เงินฝาก ระยะเวลาการฝาก ดอกเบี้ยเท่ากัน แต่ช่วงเวลาในการฝากต่างกัน คือต้นงวดและสิ้นงวด จะได้เงินรวมที่ไม่เท่ากัน

เงินผ่อน

ถ้ารวมเงินทั้งหมดเข้าด้วยกัน จะเรียกว่า มูลค่าปัจจุบันของเงินผ่อนทั้งหมดใช้ในเรื่องการผ่อนสินค้า

เช่น เงินผ่อนของต้นงวด : R+R(1+r)^{-1}+R(1+r)^{-2}+R(1+r)^{-3}

เงินผ่อนของสิ้นงวด : R(1+r)^{-1}+R(1+r)^{-2}+R(1+r)^{-3}+R(1+r)^{-4}

ดูคลิปติวฟรี ลำดับและอนุกรม ม.6

คลิปติว ลำดับและอนุกรม ม.6 จาก SmartMathPro

ลำดับและอนุกรม Part 1/2

ลำดับและอนุกรม Part 2/2

ลำดับและอนุกรม (สรุปเนื้อหา)

ติดตามคลิปติวฟรีอื่น ๆ จากพี่ปั้น ได้ทาง YouTube Channel : SmartMathPro

เป็นยังไงบ้างง สำหรับสรุปเนื้อหาเรื่องลำดับและอนุกรม ม.6 ที่พี่เอามาฝากทุกคน อย่างที่น้อง ๆ เห็นด้านบนเลยว่าเรื่องนี้สามารถเอาไประยุกต์ใช้ในการคิดดอกเบี้ยและมูลค่าเงินได้ด้วย ทำให้เวลาทำโจทย์อาจจะต้องอาศัยการวิเคราะห์ประมาณหนึ่ง พี่แนะนำว่าให้ทบทวนโดยการทำโจทย์บ่อย ๆ น้า จะได้คล่องมือ ใครไม่รู้จะไปหาโจทย์จากไหนมาฝึกก็สามารถเข้าไปดาวน์โหลดข้อสอบลำดับและอนุกรม ม.6 กันได้เลยย

ส่วนน้อง ๆ ที่คิดว่าตัวเองยังไม่แม่นเนื้อหาบทนี้ ฝึกทำโจทย์แล้วก็ยังไม่เข้าใจ แนะนำให้ทบทวนบทที่ควรรู้ก่อนเรียนอย่างบทเลขยกกำลังหรือฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึมเพิ่ม อาจจะช่วยทำให้เข้าใจในเรื่อง ลำดับและอนุกรมมากขึ้น ค่อย ๆ ทบทวนไป พี่เชื่อว่าทุกคนทำได้แน่นอนน !!

แต่ถ้าใครยังกังวล กลัวว่าถ้าทบทวนเองแล้วจะไม่เข้าใจ จนทำให้เรียนบทอื่นต่อไม่ได้ อยากได้คนช่วยไกด์ พี่ขอแนะนำคอร์สติวคณิตศาสตร์ ม.4 – 6 แบบบุฟเฟต์สำหรับเสริมเกรด จาก SmartMathPro เลยย สมัครครั้งเดียวคุ้มมากกเรียนได้จนจบม.6 พร้อมส่วนลดสูงสุด 35% โดยในคอร์ส พี่ปูพื้นฐานละเอียด เจาะลึกเฉพาะบท อิงตามหลักสูตร สสวท. ใครพื้นฐานไม่ดีก็เรียนได้สบายมากใครสนใจดูรายละเอียดเพิ่มเติมก็ คลิก ได้เลย