สรุปเทคนิคการหาโดเมนและเรนจ์ ม.4 พร้อมตัวอย่างโจทย์และเฉลย

น้อง ๆ หลายคนคงได้เรียนเรื่อง “โดเมนและเรนจ์” ในบทเรียนความสัมพันธ์และฟังก์ชันกันแล้ว แต่มีใครสงสัยไหมว่า
โดเมนและเรนจ์หาอย่างไร ? แล้วมีกี่วิธีในการหาโดเมนและเรนจ์ ?

วันนี้พี่ได้สรุปเทคนิคการหาโดเมนและเรนจ์มาให้น้อง ๆ หายสงสัย ใครที่ยังไม่เข้าใจหรืออยากได้เทคนิคเพื่อเตรียมตัวสอบ ต้องห้ามพลาด เพราะนอกจากสรุปเทคนิค พี่ยังมีตัวอย่างโจทย์พร้อมเฉลยแบบละเอียดให้ด้วย เล่ือนลงไปดูกัน !!

โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์คืออะไร ?

น้อง ๆ หลายคนที่ได้เรียนเรื่องความสัมพันธ์และฟังก์ชันน่าจะพอจำกันอยู่แล้วว่าโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์
คืออะไร ? แต่พี่ขอทบทวนบทนิยามสั้น ๆ ก่อนจะพาไปดูเทคนิคการหาโดเมนและเรนจ์นิดนึงน้าา

บทนิยาม

ให้ r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B

• โดเมนของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับทั้งหมดใน r เขียนแทนด้วย D_r
• เรนจ์ของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับทั้งหมดใน r เขียนแทนด้วย R_r

เทคนิคการหาโดเมนและเรนจ์โดยพิจารณาเงื่อนไข

ถ้าโจทย์กำหนดความสัมพันธ์ที่เขียนในรูปของเซตแบบบอกเงื่อนไข ให้น้อง ๆ ใช้เทคนิคในการพิจารณาเงื่อนไขแล้ว
หาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ ซึ่งจะมีขั้นตอนดังต่อไปนี้เลย

ขั้นตอนการหาโดเมนและเรนจ์

ขั้นตอนที่ 1 ให้น้อง ๆ จัดรูป โดย

หาโดเมน ให้เขียน y ในรูปของ x (หาโดเมน ให้ y ยืนเหงา)

หาเรนจ์ ให้เขียน x ในรูปของ y (หาเรนจ์ ให้ x ยืนเหงา)

ขั้นตอนที่ 2 ใช้ความรู้จากบทจำนวนจริงช่วยพิจารณาเงื่อนไข ซึ่งมักจะอยู่ใน 4 รูปแบบต่อไปนี้

รูปแบบที่ 1 : เศษส่วน (ตัวส่วน neq 0)
การหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่มีเงื่อนไขอยู่ในรูป “เศษส่วน” มักจะทำด้วยวิธีนี้

ตั้งอสมการ “ตัวส่วน neq 0”และแก้อสมการดังกล่าว
แล้วนำค่าที่ได้ไปพิจารณาหาโดเมนและเรนจ์ต่อ

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ r=left{left ( x,y right )|y=frac{1}{x+1} right} จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์นี้

• หา D_r โดยเขียน y ในรูป x (y ยืนเหงา)
  พิจารณา y=frac{1}{x+1}
  เราจะเห็นว่าเงื่อนไขอยู่ในรูปเศษส่วน แสดงว่า ตัวส่วน neq 0
  จะได้ว่า x+1neq 0
  xneq -1
  ดังนั้น D_{r}=mathbb{R}-left{-1 right}
• หา R_r โดยเขียน x ในรูป y (x ยืนเหงา)
  จาก y=frac{1}{x+1}
  จัดรูปใหม่จะได้ x=frac{1}{y}-1
  จะเห็นว่าเงื่อนไขอยู่ในรูปเศษส่วน แสดงว่า ตัวส่วน neq 0
  จะได้ว่า yneq 0
  ดังนั้น R_{r}=mathbb{R}-left{0 right}

รูปแบบที่ 2 : กรณฑ์ที่สอง
การหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่มีเงื่อนไขอยู่ในรูป “กรณฑ์ที่สอง” มักจะทำด้วยวิธีนี้

ตั้งอสมการ “ก้อนข้างในกรณฑ์ที่ 2 geq 0”
และ “อีกฝั่งของก้อนกรณฑ์ที่สอง geq 0” จากนั้นแก้อสมการดังกล่าว
แล้วนำค่าที่ได้ไปพิจารณาหาโดเมนและเรนจ์ต่อ

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ r=left{ (x,y)|y=sqrt{x-2} right} จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์นี้

• หา D_r โดยเขียน y ในรูป x (y ยืนเหงา)
  พิจารณา y=sqrt{x-2}
  จะเห็นว่าเงื่อนไขอยู่ในรูปกรณฑ์ที่สอง แสดงว่า ตัวในรูท geq 0
  จะได้
  

x-2ge 0 \ xge 2

ดังนั้น D_{r}=[2,infty )

หา R_r โดยเขียน x ในรูป y (x ยืนเหงา)
พิจารณา y=sqrt{x-2}
จะเห็นว่าเงื่อนไขอยู่ในรูปกรณฑ์ที่สอง แสดงว่า ก้อนข้างในรูท geq 0
แสดงค่าของรูท geq 0
จะได้ว่า

sqrt{x-2}ge 0\ yge 0

ดังนั้น R_{r}=[0,infty )

รูปแบบที่ 3 : ยกกำลังด้วยจำนวนคู่
การหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่มีเงื่อนไขอยู่ในรูป “ยกกำลังด้วยจำนวนคู่” มักจะทำด้วยวิธีนี้

ตั้งอสมการ “อีกฝั่งของก้อนที่ยกกำลังด้วยจำนวนคู่ geq 0”
จากนั้นแก้อสมการดังกล่าว แล้วนำค่าที่ได้ไปพิจารณาหาโดเมนและเรนจ์ต่อ

ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ r=left{(x,y)|y=x^{2}+3 right} จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์นี้

• หา D_r โดยเขียน y ในรูป x (y ยืนเหงา)
  พิจารณา y=x^{2}+3
  จะเห็นว่าเงื่อนไขอยู่ในรูปยกกำลังด้วยจำนวนคู่
  แสดงว่าตัวที่ถูกยกกำลังด้วยจำนวนคู่ พิจารณาตามเงื่อนไขของตัวนั้นได้เลย
  จะได้ว่า x ไม่มีเงื่อนไขใด
  ดังนั้น D_{r}=mathbb{R}
• หา R_r โดยเขียน x ในรูป y (x ยืนเหงา)
  พิจารณา y=x^{2}+3
  จะเห็นว่าเงื่อนไขอยู่ในรูปยกกำลังด้วยจำนวนคู่ แสดงว่าก้อนที่ยกกำลังด้วยจำนวนคู่ geq 0
  จะได้ว่า
  

x^{2}ge 0\ x^{2}+3ge 3\ yge 3

ดังนั้น R_{r}=[3,infty )

รูปแบบที่ 4 : ค่าสัมบูรณ์
การหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่มีเงื่อนไขอยู่ในรูป “ค่าสัมบูรณ์” มักจะทำด้วยวิธีนี้

ตั้งอสมการ “อีกฝั่งของค่าสัมบูรณ์ที่ถอดค่าสัมบูรณ์ออกมาแล้วต้อง geq 0”
จากนั้นแก้อสมการดังกล่าว แล้วนำค่าที่ได้ไปพิจารณาหาโดเมนและเรนจ์ต่อ

ตัวอย่างที่ 4 กำหนดให้ r=left{ left( x, y right)|y=left| x+3 right| right} จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์นี้

• หา D_r โดยเขียน y ในรูป x (y ยืนเหงา)
  พิจารณา y=left| x+3 right|
  จะเห็นว่า เงื่อนไขอยู่ในรูปค่าสัมบูรณ์
  แสดงว่า ก้อนในค่าสัมบูรณ์ พิจารณาตามเงื่อนไข
  จะได้ว่า x+3 ไม่มีเงื่อนไขใด
  ดังนั้น D_r=mathbb{R}
• หา R_r โดยเขียน x ในรูป y (x ยืนเหงา)
  พิจารณา y=left| x+3 right|
  จะเห็นว่า เงื่อนไขอยู่ในรูปค่าสัมบูรณ์
  แสดงว่า ค่าสัมบูรณ์มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์
  จะได้ว่า

left| x+3 right| geq 0 \ ygeq 0

ดังนั้น R_r=left [ 0, infty right )

จากเทคนิคการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ทั้ง 4 รูปแบบ เราสามารถสรุปให้เข้าใจง่าย ๆ ได้ด้วยภาพนี้เลย

เทคนิคการหาโดเมนและเรนจ์โดยพิจารณาจากกราฟ

ซึ่งนอกจากจะใช้การจัดรูปหรือเทคนิคเพื่อหาโดเมนและเรนจ์ได้แล้ว เราก็ยังสามารถพิจารณาจากกราฟได้เช่นเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 5 จากกราฟของความสัมพันธ์ที่กำหนดให้ จงหาโดเมนและเรนจ์

พิจารณาแนวนอน จากกราฟจะเห็นว่าค่า x อยู่ในช่วง left [ 1, 4 right ]
พิจารณาแนวตั้ง จากกราฟจะเห็นว่าค่า y สามารถเป็นได้ทุกค่า
ดังนั้น D_r=left [ 1, 4 right ] และ R_r=mathbb{R}

ตัวอย่างที่ 6 จากกราฟของความสัมพันธ์ที่กำหนดให้ จงหาโดเมนและเรนจ์

พิจารณาแนวนอน จากกราฟจะเห็นว่าค่า x สามารถเป็นได้ทุกค่า ยกเว้นที่ x=-2
พิจารณาแนวตั้ง จากกราฟจะเห็นว่าค่า y มี 2 ค่า คือที่ y= -3 และ y= 3
ดังนั้น D_r=mathbb{R}-left{2 right} และR_r=left{-3, 3 right}

เป็นอย่างไรกันบ้างกับ “สรุปเทคนิคการหาโดเมนและเรนจ์ ม.4” ที่พี่สรุปมาให้น้อง ๆ อ่านกันในวันนี้ หวังว่าจะช่วยทุกคนที่กำลังเตรียมตัวสอบให้เก็บคะแนนปัง ๆ ได้เลยน้าา แต่ถ้าใครยังรู้สึกว่าไม่คล่อง พี่แนะนำให้ทบทวนเนื้อหาเรื่องนี้และฝึกทำโจทย์เยอะ ๆ  เพราะการทำโจทย์จะช่วยให้รู้ว่าน้อง ๆ ยังไม่แม่นตรงจุดไหนบ้าง

หรือถ้าน้อง ๆ รู้สึกว่าเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.ปลายดูเป็นเรื่องยาก กลัวว่าถ้าทบทวนเองแล้วจะไม่เข้าใจ จนทำให้เรียนบทอื่นต่อไม่ได้ อยากเสริมพื้นฐานให้แน่นและอยากได้คนช่วยไกด์ พี่ก็ขอแนะนำคอร์สติวคณิตศาสตร์ ม.4 – 6 แบบบุฟเฟต์สำหรับเสริมเกรด จาก SmartMathPro เลยย สมัครครั้งเดียวคุ้มมากกเรียนได้จนจบม.6 พร้อมส่วนลดสูงสุด 35%

โดยในคอร์ส พี่ปูพื้นฐานละเอียด เจาะลึกเฉพาะบท อิงตามหลักสูตร สสวท. ใครพื้นฐานไม่ดีก็เรียนได้สบายมากใครสนใจดูรายละเอียดเพิ่มเติมก็ คลิก ได้เลย !!