สรุปพื้นฐาน การแยกตัวประกอบของพหุนาม พร้อมตัวอย่างโจทย์และเฉลย

น้อง ๆ หลายคนอาจจะเคยได้เรียนเรื่อง “ การแยกตัวประกอบของพหุนาม” กันมาบ้างแล้วตั้งแต่ช่วง ม.ต้น ซึ่งเรื่องนี้เป็นอีกเรื่องที่สำคัญในการต่อยอดเนื้อหาคณิต ม.ปลาย ไม่ว่าจะเป็นเรื่อง จำนวนจริง ภาคตัดกรวย ฟังก์ชัน และแคลคูลัส

วันนี้พี่ก็จะพาน้อง ๆ มาทบทวนเนื้อหาและสูตรต่าง ๆ เพื่อปรับพื้นฐานเตรียมความพร้อมสำหรับเนื้อหาใน ม.ปลาย
ใครยังไม่แม่นเรื่องการแยกตัวประกอบพหุนาม บอกเลยว่าต้องอ่านจนจบ เพราะนอกจากเนื้อหาพร้อมตัวอย่างแล้ว
พี่ยังมีสรุปสูตรสำคัญให้อีกด้วย อย่ารอช้า เล่ือนลงไปดูกันนน !!

ความหมายของการแยกตัวประกอบของพหุนาม

ถ้าพูดถึง “การแยกตัวประกอบของพหุนาม” อาจนึกถึงความรู้ที่อยู่ในวิชาคณิตศาสตร์ระดับ ม.ต้น เช่น พหุนาม การแก้สมการกำลังสอง และฟังก์ชันกำลังสอง รวมถึงเนื้อหาคณิตม.ปลาย ตามที่พี่กล่าวไปข้างต้น

ซึ่งในอนาคตของน้องการแยกตัวประกอบของพหุนามนี้เองจะเป็นพื้นฐานสำคัญสำหรับการเรียนคณิตศาสตร์ในหัวข้อที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น บทความนี้พี่จะพาน้อง ๆ มาทบทวนเพื่อให้เข้าใจกันชัด ๆ ว่าการแยกตัวประกอบของพหุนามคืออะไร ?
และมีเทคนิคหรือสูตรพื้นฐานไหนที่เราจำเป็นต้องรู้บ้าง

ความหมายของการแยกตัวประกอบของพหุนาม

การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือ การเขียนพหุนามให้อยู่ในรูปการคูณกันของพหุนามตั้งแต่สองพหุนามขึ้นไป

พิจารณาผลคูณของพหุนาม x+3 กับ x+4
จะได้ว่า (x+3)(x+4)= x^{2}+(4)(x)+(3)(x)+(4)(3)
=x^{2}+7x+12
ดังนั้น พหุนาม x^2+7x+12 จะแยกตัวประกอบได้เป็น (x+3)(x+4)
จากการกระจายพหุนามดังกล่าว จะพบว่าการแยกตัวประกอบของพหุนามคือการทำขั้นตอนย้อนกลับของ
การคูณพหุนาม

วิธีการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

ในหัวข้อนี้ พี่จะขอแบ่งพหุนามดีกรีสองออกเป็น 3 รูปแบบ โดยแต่ละแบบใช้วิธีการแยกตัวประกอบที่แตกต่างกันดังนี้

รูปแบบที่ใช้การดึงตัวร่วมได้

สมบัติการแจกแจง (การดึงตัวร่วม)
ให้ a, b และ c เป็นจำนวนใด ๆ
จะได้ว่า ab+ac=a(b+c) หรือ ba+ca=(b+c)a

จากสมบัติข้างต้นเราจะเรียก a ว่าเป็นตัวคูณร่วมหรือเรียกสั้น ๆ ว่าตัวร่วมนั่นเอง หรือถ้าน้อง ๆ ดูสมบัติแล้ว
ยังรู้สึกสงสัยอยู่ เรามาดูตัวอย่างเพื่อเพิ่มความเข้าใจกันดีกว่า

ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ x^2+4x

วิธีทำ จะสังเกตได้ว่าทั้งสองพจน์ที่โจทย์กำหนดมี x เป็นตัวร่วม

ดังนั้น x^2+4x=x(x+4)

ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 2x^{2}y+4y^{2}x

วิธีทำ จะสังเกตได้ว่าทั้งสองพจน์ที่โจทย์กำหนดมี 2xy เป็นตัวร่วม

ดังนั้น 2x^{2}y+4y^{2}x=2xy(x+2y)

รูปแบบ x^2+bx+c

หากน้อง ๆ ลองสังเกตผลคูณของพหุนาม x+4 กับ x+2
(x+4)(x+2)=x^{2}+(2)(x)+(4)(x)+(4)(2)
=x^{2}+6x+8 จะเห็นว่า

• พจน์หน้าของผลลัพธ์เกิดจากการคูณกันระหว่าง x กับ x
• พจน์กลางของผลลัพธ์เกิดจากการบวกกันระหว่าง x คูณกับ 4 และ x คูณกับ 2
• พจน์หลังของผลลัพธ์เกิดจากการคูณกันระหว่าง 4 กับ 2
  แสดงว่า

ถ้าเราจะแยกตัวประกอบของ x^{2}+6x+8 เราจะต้องหาจำนวนใด ๆ สองจำนวนที่

• คูณกันได้เท่ากับพจน์หลังของผลลัพธ์ที่เป็นค่าคงตัว คือ 8 และ
• บวกกันได้เท่ากับสัมประสิทธิ์ของพจน์กลางของผลลัพธ์ คือ 6

สรุปได้ว่า

สำหรับพหุนามดีกรีสองในรูป x^2+bx+c เมื่อ b, c เป็นจำนวนใด ๆ และ cneq0

ถ้า m และ n เป็นจำนวนสองจำนวน ซึ่ง mn=c และ m+n=b

จะได้ว่า x^2+bx+c=(x+m)(x+n)

ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ x^2+3x+2

วิธีทำ จากหลักการข้างต้น จะต้องหาจำนวน 2 จำนวนที่

• บวกกันได้ 3
• คูณกันได้ 2

เนื่องจาก 2+1=3 และ 2times1=2

แสดงว่า x^2+3x+2=x^2+(3)x+(2)

=x^2+[(2)+(1)]x+(2)(1)

ดังนั้น x^2+3x+2=(x+2)(x+1)

ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ x^2+3x-4

วิธีทำ จากหลักการข้างต้น จะต้องหาจำนวน 2 จำนวนที่

• บวกกันได้ 3
• คูณกันได้ -4

เนื่องจาก 4+(-1)=3 และ 4times(-1)=-4

แสดงว่า x^2+3x-4=x^2+(3)x+(-4)

=x^2+[(4)+(-1)]x+(4)(-1)

ดังนั้น x^2+3x-4=(x+4)(x-1)

รูปแบบ ax^2+bx+c เมื่อ a>1

ลองสังเกตผลคูณของพหุนาม 2x+3 กับ x+2
(2x+3)(x+2)=(2)(1)x^{2}+(3)(1)(x)+(2)(2x)+(3)(2)
=2x^{2}+7x+6

ดังนั้น แยกตัวประกอบของ 2x^2+7x+6 ได้ดังนี้
2x^2+7x+6=(2x+3)(x+2)

จากผลคูณข้างต้น ถ้าเราลองสมมติให้ 2x^2+7x+6=(หัว + ท้าย) (หัว + ท้าย) แสดงว่า เราต้องหาจำนวนที่

• หัวคูณกับหัว เท่ากับ 2
• ท้ายคูณท้าย เท่ากับ 6
• ใกล้คูณใกล้บวกไกลคูณไกล เท่ากับ 7 (หรือหัวท้าย + ท้ายหัว)

ดังนั้น ถ้าหาจำนวนตามเงื่อนไขทั้ง 3 ได้ ก็จะสามารถแยกตัวประกอบพหุนามของรูปแบบ ax^2+bx+c ได้ เราลองมาดูตัวอย่างเพิ่มเติมกันเลยยย

ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ 3x^2-14x-5

วิธีทำ จากหลักการข้างต้น จะต้องหาจำนวน 4 จำนวนที่

• หัวคูณกับหัว เท่ากับ 3
• ท้ายคูณท้าย เท่ากับ -5
• ใกล้คูณใกล้บวกไกลคูณไกล เท่ากับ -14

เนื่องจาก 3times1=3 1times(-5)=-5 และ (3)(-5)+(1)(1)=14

แสดงว่า 3x^2-14x-5=(3)x^2+(-14)x+(-5)\=(3)(1)x^2+[(3)(-5)+(1)(1)]x+(-5)(1)
ดังนั้น 3x^2-14x-5=(3x+1)(x-5)

ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบของ 2x^2+13x-7

วิธีทำ จากหลักการข้างต้น จะต้องหาจำนวน 4 จำนวนที่

• หัวคูณกับหัว เท่ากับ 2
• ท้ายคูณท้าย เท่ากับ -7
• ใกล้คูณใกล้บวกไกลคูณไกล เท่ากับ 13

เนื่องจาก 2times1=2 (-1)times7=-7 และ (2)(7)+(-1)(1)=13

แสดงว่า 2x^2+13x-7=(2)x^2+(13)x+(-7)\=(2)(1)x^2+[(2)(7)+(-1)(1)]x+(-1)(7)
ดังนั้น 2x^2+13x-7=(2x-1)(x+7)

สูตรการแยกตัวประกอบของพหุนามที่ควรรู้

ในหัวข้อที่แล้วน้อง ๆ ได้เรียนเกี่ยวกับพื้นฐานของการแยกตัวประกอบของพหุนาม แต่ในหัวข้อนี้เราจะทำให้
การแยกตัวประกอบของพหุนามบางรูปแบบง่ายขึ้นโดยใช้สูตรที่พี่จะให้ต่อไปนี้

สูตร ผลต่างของกำลังสอง

สูตร ผลต่างของกำลังสอง
กำหนดให้ A แทนพจน์หน้า และ B แทนพจน์หลัง
จะได้ว่า A^2-B^2=(A+B)(A-B)

ตัวอย่างที่ 7 จงแยกตัวประกอบของ x^2-16

วิธีทำ พิจารณา x^2-16=(x)^2-(4)^2

แสดงว่า x เป็นพจน์หน้า และ 4 เป็นพจน์หลัง

จะได้ว่า x^2-16=(x-4)(x+4)

ตัวอย่างที่ 8 จงแยกตัวประกอบของ 9x^2-25

วิธีทำ พิจารณา 9x^2-25=(3x)^2-(5)^2

แสดงว่า 3x เป็นพจน์หน้า และ 5 เป็นพจน์หลัง

จะได้ว่า 9x^2-25=(3x-5)(3x+5)

สูตร กำลังสองสมบูรณ์

สูตร กำลังสองสมบูรณ์

กำหนดให้ A แทนพจน์หน้า และ B แทนพจน์หลัง จะได้ว่า

A^2+2AB+B^2=(A+B)^2

A^2-2AB+B^2=(A-B)^2

ตัวอย่างที่ 9 จงแยกตัวประกอบของ x^2+2x+1

วิธีทำ พิจารณา x^2+2x+1=(x)^2+2(x)(1)+(1)^2

แสดงว่า x เป็นพจน์หน้า และ 1 เป็นพจน์หลัง

จะได้ว่า x^2+2x+1=(x+1)^2

ตัวอย่างที่ 10 จงแยกตัวประกอบของ x^2-6x+9

วิธีทำ พิจารณา x^2-6x+9=(x)^2-2(x)(3)+(3)^2

แสดงว่า x เป็นพจน์หน้า และ 3 เป็นพจน์หลัง

จะได้ว่า x^2-6x+9=(x-3)^2

สูตร ผลบวกของกำลังสาม

สูตร ผลบวกของกำลังสาม

กำหนดให้ A แทนพจน์หน้า และ B แทนพจน์หลัง จะได้ว่า

A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)

ตัวอย่างที่ 11 จงแยกตัวประกอบของ x^3+8

วิธีทำ พิจารณา x^3+8=(x)^3+(2)^3

แสดงว่า x เป็นพจน์หน้า และ 2 เป็นพจน์หลัง

จะได้ว่า x^3+8=(x+2)(x^{2}-2x+4)

ตัวอย่างที่ 12 จงแยกตัวประกอบของ 27x^3+64

วิธีทำ พิจารณา 27x^3+64=(3x)^3+(4)^3

แสดงว่า 3x เป็นพจน์หน้า และ 4 เป็นพจน์หลัง

จะได้ว่า 27x^3+64=(3x+4)(9x^{2}-12x+16)

สูตร ผลต่างของกำลังสาม

สูตร ผลต่างของกำลังสาม

กำหนดให้ A แทนพจน์หน้า และ B แทนพจน์หลัง จะได้ว่า

A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)

ตัวอย่างที่ 13 จงแยกตัวประกอบของ x^3-125

วิธีทำ พิจารณา x^3-125=(x)^3-(5)^3

แสดงว่า x เป็นพจน์หน้า และ 5 เป็นพจน์หลัง

จะได้ว่า x^3-125=(x-5)(x^{2}+5x+25)

ตัวอย่างที่ 14 จงแยกตัวประกอบของ 8x^3-27

วิธีทำ พิจารณา 8x^3-27=(2x)^3-(3)^3

แสดงว่า 2x เป็นพจน์หน้า และ 3 เป็นพจน์หลัง

จะได้ว่า 8x^3-27=(2x-3)(4x^{2}+6x+9)

สรุปสูตรการแยกตัวประกอบของพหุนามที่ควรรู้

จากสูตรการแยกตัวประกอบของพหุนามทั้ง 4 สูตรนั้น พี่ขอสรุปให้น้อง ๆ จำแบบง่าย ๆ ได้ตามนี้เลยยย

และนี่คือเนื้อหาพื้นฐานการแยกตัวประกอบของพหุนามทั้งหมดที่พี่ได้รวบรวมมาให้น้อง ๆ ในวันนี้น้าา หวังว่ามันจะช่วยในการปรับพื้นฐานเนื้อหา ม.ต้น เตรียมพร้อมสำหรับ ม.ปลาย และเตรียมตัวสอบเข้ามหาลัยฯ ให้น้อง ๆ ได้

สำหรับใครที่ยังรู้สึกว่าเนื้อหาคณิตศาสตร์ดูเป็นเรื่องยาก กลัวเรียนไม่รู้เรื่อง พี่ขอบอกเลยว่าถ้าเรามีพื้นฐานที่ดี ทบทวนบทเรียนและฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ ก็จะทำให้เข้าใจในเนื้อหามากขึ้น แต่ถ้าใครยังกังวล กลัวว่าถ้าทบทวนเองแล้วจะไม่เข้าใจ
จนทำให้เรียนบทอื่นต่อไม่ได้ อยากได้คนช่วยไกด์

พี่ขอแนะนำคอร์สติวคณิตศาสตร์ ม.4 – 6 แบบบุฟเฟต์สำหรับเสริมเกรด จาก SmartMathPro เลยย สมัครครั้งเดียวคุ้มมากกเรียนได้จนจบม.6 พร้อมส่วนลดสูงสุด 35%

โดยในคอร์ส พี่ปูพื้นฐานละเอียด เจาะลึกเฉพาะบท อิงตามหลักสูตร สสวท. ใครพื้นฐานไม่ดีก็เรียนได้สบายมากใครสนใจดูรายละเอียดเพิ่มเติมก็ คลิก ได้เลย