จำนวนเชิงซ้อน ม.5 คืออะไร ? สรุปเนื้อหา พร้อมตัวอย่างโจทย์

ก่อนที่จะอ่านบทความกันพี่ต้องขอถามก่อนเลยว่า น้อง ๆ คงเคยแก้สมการพหุนามแล้วเจอว่าบางสมการหาคำตอบไม่ได้ (ในระบบจำนวนจริง) ใช่มั้ยละ ? เช่น x^2=-1 เพราะก่อนหน้านี้เราจะสนใจเฉพาะคำตอบที่เป็นจำนวนจริงเท่านั้น
แต่ในบทนี้เราจะมาสนใจคำตอบที่ไม่ใช่จำนวนจริงกันบ้าง โดยเราจะขยายขอบเขตของจำนวนจริงให้ใหญ่ขึ้น แล้วเรียกชื่อใหม่ว่า จำนวนเชิงซ้อน ซึ่งจำนวนเชิงซ้อนนี่แหละจะทำให้เกิดคำตอบของสมการพหุนามที่ไม่ใช่จำนวนจริง ดังนั้นมาทำความรู้จักกับจำนวนเชิงซ้อนให้มากขึ้นกันเลย

ความหมายของจำนวนเชิงซ้อน

เราจะเขียนแทนเซตของจำนวนเชิงซ้อน (Complex number) ทั้งหมดด้วย mathbb{C}

บทนิยาม
สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z=left ( a, b right ) หรือ z=a+bi เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริง
เรียก a ว่า ส่วนจริง (real part) ของ z และเขียนแทนด้วย Re(z)
เรียก b ว่า ส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ z และเขียนแทนด้วย Im(z)

เช่น

• 3+2i
  จะได้ว่า 3 คือส่วนจริง และ 2 คือส่วนจินตภาพ หรือสามารถเขียนได้ว่า left ( 3, 2 right )
• -2+i
  จะได้ว่า -2 คือส่วนจริง และ 1 คือส่วนจินตภาพ หรือสามารถเขียนได้ว่า left ( -2, 1 right )
• 5
  จะได้ว่า 5 คือส่วนจริง และ 0 คือส่วนจินตภาพ หรือสามารถเขียนได้ว่า left ( 5, 0 right )
• -2i
  จะได้ว่า 0 คือส่วนจริง และ –2 คือส่วนจินตภาพ หรือสามารถเขียนได้ว่า left ( 0, -2 right )

จากบทนิยาม จะได้ว่าจำนวนจริงที่น้อง ๆ เคยเรียน นับว่าเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตภาพเป็น 0 และจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็น 0 แต่ส่วนจินตภาพไม่เป็นศูนย์ เราจะเรียกว่า จำนวนจินตภาพแท้ (purely imaginary number) นั่นเอง

สมบัติเชิงพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

หลังจากที่เราได้รู้จักบทนิยามของจำนวนเชิงซ้อนกันไปแล้ว คราวนี้เรามารู้จักสมบัติต่าง ๆ ของจำนวนเชิงซ้อนกันบ้างง มาเริ่มกันที่สมบัติของจำนวนจินตภาพก่อนเลย

สมบัติของจำนวนจินตภาพ i

จากที่เราทราบกันว่า i =sqrt{-1} เราจะได้ว่า
i =sqrt{-1}
i^{2} =-1
i^{3} =-1times i = -i
i^{4} = (i^{2})^{2} = -1^{2} = 1
ดังนั้นเราจะได้ว่า i^{4m}=1, i^{4m+1}=i, i^{4m+2}=-1, i^{4m+3}=-i เมื่อ min mathbb{N}cup left { 0 right }

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ i^{2566} + i^{2023}

วิธีทำ

i^{2566}=i^{4(641)+2}=-1
i^{2023}=i^{4(505)+3}=-i
ดังนั้น i^{2566} + i^{2023}=-1-i

การบวก ลบ คูณ และหารจำนวนเชิงซ้อน

ในระบบจำนวนจริง มีการดำเนินการทั้งบวก ลบ คูณ และหาร ซึ่งในจำนวนเชิงซ้อนก็มีการดำเนินการเช่นเดียวกัน
ในหัวข้อนี้เราจะมาดูกันว่าการดำเนินการของจำนวนเชิงซ้อนเป็นอย่างไร

การบวกและลบจำนวนเชิงซ้อน

การบวกจำนวนเชิงซ้อน

บทนิยาม
ให้ z_{1},z_{2} เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ z_{1}=(a,b) และ z_{2}=(c,d)
หรือ z_{1}=a+bi และ z_{2}=c+di
จะได้ว่า z_{1}+z_{2}=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)
หรือ z_{1}+z_{2}=(a+c)+(b+d)i

การบวกจำนวนเชิงซ้อน สามารถทำได้โดยการนำส่วนจริงตัวหน้าและส่วนจินตภาพตัวหลังของทั้งสองจำนวนมาบวกกันนั่นเอง

การลบจำนวนเชิงซ้อน

บทนิยาม
ให้ z_{1},z_{2} เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ z_{1}=(a,b) และ z_{2}=(c,d)
หรือ z_{1}=a+bi และ z_{2}=c+di
จะได้ว่า z_{1}-z_{2}=(a,b)-(c,d)=(a-c,b-d)
หรือ z_{1}-z_{2}=(a-c)+(b-d)i

ทำในทำนองเดียวกันกับการบวกเลย หรือกล่าวได้ว่า เป็นการบวกด้วยอินเวอร์สของการบวกนั่นเอง
เช่น กำหนดให้ z_{1}=-1+2i และ z_{2}=3-4i
หาผลบวก จะได้ z_{1}+z_{2}=(-1+3)+(2+(-4))i=2-2i
และหาผลลบ จะได้ z_{1}-z_{2}=(-1-3)+(2-(-4))=-4+6i

การคูณจำนวนเชิงซ้อน

บทนิยาม
ให้ z_{1},z_{2} เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ z_{1}=(a,b) และ z_{2}=(c,d)
หรือ z_{1}=a+bi และ z_{2}=c+di
จะได้ว่า z_{1}z_{2}=(ac-bd,ad+bc)
หรือ z_{1}z_{2}=(ac-bd)+(ad+bc)i

เช่น กำหนดให้ z_{1}=-1+2i และ z_{2}=3-4i
หาผลคูณ จะได้ z_{1}z_{2}=((-1)3-2(-4))+((-1)(-4)+2cdot 3)i=(-3+6)+(4+6)i=3+10i

สมบัติการบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อน

กำหนดให้ z,z_{1},z_{2},z_{3} เป็นจำนวนเชิงซ้อน

การหารจำนวนเชิงซ้อน

บทนิยาม
สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z และ w ซึ่ง wneq 0 จะได้ว่า zdiv w=zw^{-1} และเขียนแทน zdiv w ด้วย frac{z}{w}

ในการหารจำนวนเชิงซ้อนจะมีสูตรอยู่น้า เพื่อให้เข้าใจมากขึ้นลองไปดูตัวอย่างต่อไปนี้กันน

ตัวอย่างที่ 2 จงหา frac{3+2i}{4+3i}

วิธีทำ
จากบทนิยาม จะได้ว่า frac{z}{w}=zw^{-1}
เราจะหาตัวผกผันการคูณ หรืออินเวอร์สการคูณของ 4+3i
จาก z^{-1}=frac{a}{a^2+b^2}-frac{b}{a^2+b^2}i
จะได้ อินเวอร์สการคูณของ 4+3i คือ frac{4}{25}-frac{3}{25}i
ดังนั้น frac{3+2i}{4+3i}=(3+2i)(frac{4}{25}-frac{3}{25}i)

=frac{12}{25}+frac{6}{25}+(frac{8}{25}-frac{9}{25})i =frac{18}{25}-frac{1}{25}i

สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน

เราจะมีคำศัพท์ที่สำคัญอีกตัวหนึ่ง ที่ในระบบจำนวนจริงเราจะไม่ค่อยได้พูดถึง แต่จำนวนเชิงซ้อนต้องใช้เป็นส่วนใหญ่ คือ สังยุค (conjugate)  นั่นเอง

บทนิยาม
ให้ z=a+bi เป็นจำนวนเชิงซ้อน สังยุคของ z คือ a-bi

ซึ่งสังยุคของ z จะเขียนด้วย bar{z} ซึ่ง bar{z}=overline{a+bi}=a-bi
เช่น สังยุคของ 7+2i คือ 7-2i

ทฤษฎีบท
ให้ z,z_{1} และ z_{2} เป็นจำนวนเชิงซ้อน จะได้ว่า
1. Re(z)=frac{1}{2}left ( z+bar{z} right ) และ Im(z)=frac{1}{2i}left ( z-bar{z} right )
2. bar{bar{z}}=z
3. frac{1}{bar{z}}=overline{left ( frac{1}{z} right )} เมื่อ zneq 0
4. overline{z_{1}+z_{2}}=overline{z_{1}}+overline{z_{2}}
5. overline{z_{1}-z_{2}}=overline{z_{1}}-overline{z_{2}}
6. overline{z_{1} z_{2}}=overline{z_{1}}; overline{z_{2}}
7. overline{left (frac{z_{1}}{z_{2}} right )}=frac{overline{z_{1}}}{overline{z_{2}}} เมื่อ z_{2}neq 0

ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ z_{1}=2+i และ z_{2}=-3-2i จงเขียน overline{z_{1}-overline{z_{2}}} ในรูปของ a+bi เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริง

วิธีทำ

overline{z_{1}-overline{z_{2}}}
=overline{z_{1}}-overline{overline{z_{2}}}
=overline{z_{1}}-z_{2}
= overline{left ( 2+i right )}-(-3-2i)
= 2-i+3+2i
= 5+i

กราฟและค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน

กราฟของจำนวนเชิงซ้อน

ถ้าน้อง ๆ ยังจำกันได้ จำนวนเชิงซ้อนสามารถเขียนในรูปของคู่อันดับ left ( a,b right ) ดังนั้นเราสามารถนำจำนวนเชิงซ้อน left ( a,b right ) มาแทนด้วยจุดบนระนาบในระบบพิกัดฉากได้ จะเรียกระนาบนี้ว่า ระนาบเชิงซ้อน โดยเรียกแกน X ว่า แกนจริง เรียกแกน Y ว่า แกนจินตภาพ

ซึ่งการแทนจำนวนเชิงซ้อน left ( a,b right ) บนระนาบ สามารถแทนได้ด้วยจุด left ( a,b right ) หรือเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุด left ( 0,0 right ) และมีจุดสิ้นสุดที่จุด left ( a,b right ) เช่น 4+3i สามารถเขียนบนระนาบเชิงซ้อนได้ ดังนี้

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน

บทนิยาม
ค่าสัมบูรณ์ (absolute value or modulus) ของจำนวนเชิงซ้อน a+bi คือ จำนวนจริง sqrt{a^{2}+b^{2}} นั่นคือ left | a+bi right |=sqrt{a^{2}+b^{2}}

จากบทนิยามจะพบว่า ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน a+bi คือระยะห่างระหว่างจุด left ( 0,0 right ) และจุด left ( a,b right ) หรือขนาดของเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุด left ( 0,0 right ) และมีจุดสิ้นสุดที่จุด left ( a,b right ) นั่นเอง เช่น ค่าสัมบูรณ์ของ 4+3i คือ 5 นั่นเอง

ทฤษฎีบท
ให้ z,z_{1} และ z_{2} เป็นจำนวนเชิงซ้อน จะได้ว่า
1. left | z right |^{2}=zbar{z}
2. left | z right |=left | -z right |=left | bar{z} right |
3. left | frac{1}{z} right |=frac{1}{left | z right |} เมื่อ zneq 0
4. left | z_{1}z_{2} right |=left | z_{1} right |left | z_{2} right |
5. left | z_{1}+z_{2} right |leq left | z_{1} right |+left | z_{2} right |
6. left | z_{1}-z_{2} right |geq left | z_{1} right |-left | z_{2} right |

ตัวอย่างที่ 4 กำหนดให้ z_{1}=3-4i และ z_{2}=12+5i ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน z_{1}z_{2} เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ

left |z_{1} right |=sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=sqrt{9+16}=5
left |z_{2} right |=sqrt{12^{2}+5^{2}}=sqrt{144+25}=13
จากทฤษฎีบท left | z_{1}z_{2} right |=left | z_{1} right |left | z_{2} right |
จะได้ว่า left | z_{1}z_{2} right |=5times 13=65

รูปเชิงขั้วของจำนวนเชิงซ้อน

จากที่เราเคยเขียนจำนวนเชิงซ้อน z=x+yi (จำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์) บนระนาบได้ดังนี้
จากรูป หากเรากำหนดให้ r แทนระยะห่างระหว่างจุดกำเนิด O กับ z
และกำหนดให้ theta แทนขนาดของมุมที่วัดทวนเข็มนาฬิกาจากแกน X ทางด้านบวก ไปยัง overrightarrow{Oz} จะได้ความสัมพันธ์ดังนี้

• x=rcostheta และ y=rsintheta
• r=left | z right |=sqrt{x^2+y^2} และ tantheta=frac{y}{x} เมื่อ xneq0

ดังนั้นเราจะเขียนจำนวนเชิงซ้อนในอีกรูปหนึ่งได้ดังนี้

จาก z=x+yi เขียนใหม่ได้เป็น z=rleft (costheta +isintheta right )
โดยเรียก rleft (costheta +isintheta right ) ว่า รูปเชิงขั้ว (polar form) ของ z และเรียก theta ว่า อาร์กิวเมนต์ (argument) ของ z

ตัวอย่างที่ 5 จงเขียนจำนวนเชิงซ้อน -1+sqrt{3}i ให้อยู่ในรูปเชิงขั้ว

วิธีทำ

ขั้นตอนที่ 1 หา r และ theta

ให้ rleft (costheta +isintheta   right ) เป็นรูปเชิงขั้วของ -1+sqrt{3}i

จะได้ r=sqrt{(-1)^2+(sqrt{3})^2}=sqrt{1+3}=sqrt{4}=2

เนื่องจาก tantheta =frac{sqrt{3}}{-1}=-sqrt{3} และ left ( -1, sqrt{3} right ) เป็นจุดในจตุภาคที่ 2

จะได้ว่า theta ค่าหนึ่งที่ทำให้ tantheta =-sqrt{3} คือ frac{2pi }{3}

ขั้นตอนที่ 2 นำมาแทนค่าเพื่อหารูปเชิงขั้วของจำนวนเชิงซ้อน

ดังนั้น รูปเชิงขั้วรูปหนึ่งของ -1+sqrt{3}i คือ 2left ( cosleft ( frac{2pi }{3} right )+isinleft ( frac{2pi }{3} right ) right )

น้อง ๆ บางคนอาจรู้สึกว่าการเขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้วมีความยุ่งยากและซับซ้อนใช่ไหม แต่มันก็มีประโยชน์อยู่น้า การเขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้วจะช่วยหาผลคูณหรือผลหารได้เร็วขึ้น โดยปกติแล้วถ้าจำนวนเชิงซ้อนในรูปที่ใช้ก่อนหน้านี้จะหาผลคูณโดยการคูณกระจาย หรือหาผลหารโดยใช้สูตรน่ากลัว ๆ

ดังนั้นถ้าเราอยากหาผลคูณหรือผลหารของจำนวนเชิงซ้อน ให้น้อง ๆ ใช้สูตรในทฤษฎีบทด้านล่างนี้ได้เลย

ทฤษฎีบท ให้ z_1=r_1(costheta_1+isintheta_1) และ z_2=r_2(costheta_2+isintheta_2) โดยที่ z_1neq0 และ z_2neq0

• z_1z_2=r_1r_2(cos(theta_1+theta_2)+isin(theta_1+theta_2))
• frac{z_1}{z_2}=frac{r_1}{r_2}(cos(theta_1-theta_2)+isin(theta_1-theta_2))
• bar{z_1}=r_1(cos(-theta_1)+isin(-theta_1))

แล้วถ้าเป็นการยกกำลังล่ะ เราจะหาได้จากอะไร… ไม่ยากเลย น้อง ๆ สามารถใช้ทฤษฎีบทเดอมัวฟวร์มาช่วยหาได้น้าา

ทฤษฎีบทเดอมัวฟวร์ (De Moivre’s Theorem)
ให้ z=rleft (costheta +isintheta right ) เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ และ n เป็นจำนวนเต็มบวก
จะได้ว่า z^n=r^nleft (cosleft (ntheta right ) +isinleft (ntheta right ) right )

รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน

ก่อนจะเริ่มหารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน น้อง ๆ มาหารากที่สองของจำนวนเชิงซ้อนกันก่อนดีกว่า นั่นคือสูตรด้านล่างนี้

กำหนดจำนวนเชิงซ้อน z=a+bi และให้ r=sqrt{a^2+b^2} จะได้ว่ารากที่สองของ z คือ

• pm left ( sqrt{frac{r+a}{2}}+sqrt{frac{r-a}{2}}i right ) เมื่อ bgeq 0
• pm left ( sqrt{frac{r+a}{2}}-sqrt{frac{r-a}{2}}i right ) เมื่อ b<0

นอกจากสูตรที่พี่เขียนมาข้างต้น เรายังสามารถนำทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร์ มาช่วยในการหารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก นั่นหมายความว่าเราสามารถหารากที่ 2 ของจำนวนเชิงซ้อนได้เช่นกัน

ลองค่อย ๆ สังเกตตามพี่น้าา ถ้าเราให้ w เป็นจำนวนเชิงซ้อน และ n เป็นจำนวนเต็มบวก เราจะได้ว่ารากที่ n ของ w คือ จำนวนเชิงซ้อน z ที่สอดคล้องกับ z^n=w

พี่จะขอยกตัวอย่างเพิ่มเติม เช่น frac{sqrt{2}}{2}+frac{sqrt{2}}{2}i เป็นรากที่ 4 ของ 1 เพราะว่า left (frac{sqrt{2}}{2}+frac{sqrt{2}}{2}i right )^{4}=1

เราจะใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้ในการหารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน

ถ้า w=rleft ( costheta +isintheta right ) เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ แล้ว
รากที่ n ของ w มีทั้งหมด n รากที่แตกต่างกัน คือ z=sqrt[n]{r}left ( cosleft (frac{theta +2kpi }{n} right ) +isinleft (frac{theta +2kpi }{n} right ) right ) เมื่อ kin left { 0, 1, 2, ... , n-1 right }

ตัวอย่างที่ 6 จงหารากที่ 4 ของ 2+2sqrt{3}i

วิธีทำ  

กำหนดให้ w=2+2sqrt{3}i

ดังนั้น เขียนจำนวนเชิงซ้อน w ให้อยู่ในรูปเชิงขั้วได้ว่า 4left ( cosfrac{pi }{3}+isinfrac{pi}{3} right )

และกำหนดให้ z=rleft (costheta +isintheta   right ) เป็นรากที่สี่ของ w

จะได้  z^4=2+2sqrt{3}i

จากทฤษฎีบทของเดอมัวฟวร์ จะได้ z^4=r^4left ( cos4theta +isin4theta right )=4left ( cosfrac{pi }{3}+isinfrac{pi}{3} right )

ดังนั้น r^4=4

จะได้ว่า r=sqrt[4]{4}=sqrt{2}

และ 4theta-frac{pi}{3}=2kpi เมื่อ kin mathbb{Z}

จะได้ว่า theta = frac{frac{pi}{3}+2kpi}{4} เมื่อ kin mathbb{Z}

ดังนั้น  z=sqrt{2}left ( cosleft (frac{pi}{12}+frac{kpi}{2}  right ) +isinleft (frac{pi}{12}+frac{kpi}{2}  right ) right ) เมื่อ kin mathbb{Z}

เมื่อ k=0 จะได้   z_1=sqrt{2}left (cosfrac{pi}{12}+isinfrac{pi}{12}  right )

เมื่อ k=1 จะได้   z_2=sqrt{2}left (cosfrac{7pi}{12}+isinfrac{7pi}{12}  right )

เมื่อ k=2 จะได้   z_3=sqrt{2}left (cosfrac{13pi}{12}+isinfrac{13pi}{12}  right )

เมื่อ k=3 จะได้   z_4=sqrt{2}left (cosfrac{19pi}{12}+isinfrac{19pi}{12}  right )

สมการพหุนามตัวแปรเดียว

หน้าตาของสมการพหุนามตัวแปรเดียวในหัวข้อนี้จะคล้ายกับที่น้อง ๆ เคยเจอมาเลย แต่ในหัวข้อนี้เราจะเจอคำตอบของสมการที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย ดังนั้นเราจะต้องใช้ความรู้เดิมมาช่วยแก้สมการด้วย

พหุนาม p(x) มี x-c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ p(c)=0

ต่อมาพี่จะพูดถึงจำนวนคำตอบของสมการพหุนามตัวแปรเดียว หลังจากที่เราแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียวแล้ว จำนวนคำตอบของสมการจะเป็นดังต่อไปนี้เลย

ให้ p(x) เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงและมีดีกรี n เมื่อ ngeq 0 จะได้ว่าสมการ p(x)=0 จะมีคำตอบทั้งหมด n คำตอบ เมื่อนับคำตอบที่ซ้ำกัน

ที่สำคัญที่สุดเลยคือทฤษฎีบทในกรอบต่อไปนี้ จะกล่าวถึงคำตอบของสมการพหุนามตัวแปรเดียวที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนถ้าเรารู้คำตอบที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนตัวหนึ่งแล้ว เราจะสามารถหาคำตอบอีกตัวหนึ่งได้เลยโดยใช้ทฤษฎีบทนี้

ถ้าจำนวนเชิงซ้อน z เป็นคำตอบของสมการพหุนามกำลัง n โดยที่สัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นจำนวนจริง แล้ว bar{z} จะเป็นคำตอบของสมการพหุนามนี้ด้วย

เช่น กำหนดสมการ x^2-4x+13=0 มี 2+3i เป็นคำตอบตัวหนึ่งของสมการ
จะได้ว่า 2-3i เป็นคำตอบอีกตัวหนึ่งของสมการด้วย

ตัวอย่างที่ 7 จงหาสมการพหุนามดีกรี 3 ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม มี 2 และ 3-i เป็นคำตอบ และมีสัมประสิทธิ์นำเป็น 1

วิธีทำ

เนื่องจาก 3-i เป็นคำตอบของสมการ จะได้ว่า 3+i เป็นคำตอบของสมการด้วย

จะได้

(x-2)(x-(3-i))(x-(3+i))=0 (x-2)(x-3+i)(x-3-i)=0 (x-2)(x^2-6x+10)=0 x^3-8x^2+22x-20=0

ดูคลิปติวฟรี จำนวนเชิงซ้อน ม.5

ดูคลิปติวฟรีอื่น ๆ ได้ที่ YouTube : SmartMathPro

จำนวนเชิงซ้อน ม.5 เป็นอีกหนึ่งบทในเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.5 ที่มีทั้งทฤษฎีบท ตัวแปร สูตร และการเขียนกราฟที่
ค่อนข้างเยอะประมาณหนึ่งเลย ทำให้หลายคนก็อาจจะรู้สึกงงอยู่บ้างเมื่อเรียนเนื้อหาเรื่องนี้ แต่พี่แนะนำว่าให้ค่อย ๆ ทำความเข้าใจและฝึกทำโจทย์ควบคู่ไปด้วยน้าา จะยิ่งทำให้เข้าใจมากขึ้น พร้อมไปสอบกลางภาคแน่นอนน

ซึ่งถ้าใครอยากได้โจทย์คณิตศาสตร์ ม.ปลาย ไว้ซ้อมมือ พี่ก็มีแบบฝึกหัดใน คลังข้อสอบ ให้ทุกคนได้ฝึกทำอีกเพียบเลยย เข้าไปดาวน์โหลดกันได้น้าา

สำหรับน้อง ๆ คนไหนที่อ่านจบแล้ว แต่อยากได้ตัวช่วยในการอ่านหนังสือที่จะเสริมความเข้าใจของตัวเองให้มากขึ้นอีก พี่ขอแนะนำคอร์สติวคณิตศาสตร์ ม.4 – 6 แบบบุฟเฟต์สำหรับเสริมเกรด จาก SmartMathPro เลยย สมัครครั้งเดียวคุ้มมากก เรียนได้จนจบม.6 พร้อมส่วนลดสูงสุด 35%

โดยในคอร์ส พี่ปูพื้นฐานละเอียด เจาะลึกเฉพาะบท อิงตามหลักสูตร สสวท. ใครพื้นฐานไม่ดีก็เรียนได้สบายมากใครสนใจดูรายละเอียดเพิ่มเติมก็ คลิก ได้เลย