สรุปเนื้อหา เส้นขนาน ม.2 พร้อมแจกโจทย์ให้ฝึกทำ

เส้นขนาน หมายถึง เส้นตรงสองเส้นที่อยู่บนระนาบเดียวกัน มีระยะห่างระหว่างสองเส้นเท่ากัน และไม่ตัดกัน ซึ่งน้อง ๆ สามารถเจอเส้นขนานในชีวิตจริงได้จากหลายอย่าง ไม่ว่าจะเป็น ถนน, รางรถไฟ, โต๊ะ, เก้าอี้, ประตู, หน้าต่าง และเรื่อง
เส้นขนานก็ยังเป็นเรื่องที่น้อง ๆ ต้องเรียนในคณิต ม.2 ด้วย

ซึ่งบทความนี้จะพาน้อง ๆ ไปเจาะลึกเนื้อหา เส้นขนาน ม.2 ทั้งเรื่องของความหมาย, สมบัติของเส้นขนาน, มุมต่าง ๆ พร้อมพาทำโจทย์ที่เกี่ยวกับเส้นขนาน และท้ายบทความยังมีแจกแบบฝึกหัดฟรีด้วย ถ้าพร้อมแล้วไปอ่านกันเลยยย

เส้นขนาน คืออะไร ?

 บทนิยาม
เส้นตรงสองเส้นที่อยู่บนระนาบเดียวกัน ขนานกัน ก็ต่อเมื่อ เส้นตรงทั้งสองเส้นนั้นไม่ตัดกัน

จากรูป เราจะเห็นว่า overleftrightarrow{AB} และ overleftrightarrow{CD} ขนานกัน ซึ่งเราสามารถบอกว่า overleftrightarrow{AB} ขนานกับ overleftrightarrow{CD} หรือ overleftrightarrow{CD} ขนานกับ overleftrightarrow{AB} ได้เช่นเดียวกัน และเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ overleftrightarrow{AB} // overleftrightarrow{CD} หรือ overleftrightarrow{CD} // overleftrightarrow{AB}

ระยะห่างระหว่างเส้นขนาน

เราลองสังเกตเส้นตรง 2 เส้นที่ไม่ขนานกัน จะเห็นว่าระยะห่างระหว่างเส้นตรง 2 เส้นนั้นจะไม่เท่ากัน บางช่วงเส้นตรงเข้าใกล้กัน ระยะห่างดูน้อย บางช่วงเส้นตรงไกลกัน ระยะห่างดูมาก แต่ว่าถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน แล้วระยะห่างระหว่างเส้นตรงคู่นั้นจะเท่ากันเสมอ

ในทางกลับกัน ถ้าเส้นตรงสองเส้นมีระยะห่างระหว่างเส้นตรงเท่ากันเสมอ แล้วเส้นตรงคู่นั้นจะขนานกัน

มุมต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเส้นขนาน

เราสามารถตรวจสอบได้ว่าเส้นตรงคู่ใดขนานกันบ้าง นอกจากการใช้บทนิยามของเส้นขนานและระยะห่างระหว่างเส้นตรงสองเส้นว่าคงที่หรือไม่ แล้วยังสามารถตรวจสอบโดยพิจารณาจากขนาดของมุมภายใน (interior angle), มุมแย้ง (alternate angle) หรือมุมภายนอก (exterior angle)

ซึ่งมุมเหล่านี้เกิดจากเส้นตรงเส้นหนึ่งมาตัดเส้นตรงคู่นั้น เรียกเส้นตรงนั้นว่า เส้นตัดขวาง (transversal) หรือเรียกสั้น ๆ ว่า เส้นตัด เพื่อให้น้อง ๆ เข้าใจมากขึ้น เราไปทำความรู้จักมุมต่าง ๆ จากรูปต่อไปกันเลยย

จากรูป เราเรียก overleftrightarrow{AB} ว่า เส้นตัด AB
มุมภายใน ได้แก่ widehat{3},widehat{4},widehat{5},widehat{6}
มุมภายนอก ได้แก่ widehat{1},widehat{2},widehat{7},widehat{8}
เรียก widehat{3} และ widehat{6} ว่าเป็นมุมแย้งกัน และในทำนองเดียวกันกับคู่มุม widehat{4} และ widehat{5}
เรียก widehat{3} และ widehat{5} ว่า มุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด และในทำนองเดียวกันกับคู่มุม widehat{4} และ widehat{6}
เรียก widehat{1} และ widehat{5} ว่า มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด และในทำนองเดียวกันกับคู่มุม
ต่อไปนี้ widehat{2} และ widehat{6} , widehat{7} และ widehat{3} , widehat{8} และ widehat{4}

สมบัติของเส้นขนาน

เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้น   ตัดรวมกันเท่ากับ 180 องศา

จากรูป ถ้าคู่ widehat{1} และ widehat{3} หรือคู่ widehat{2} และ widehat{4} รวมกันเท่ากับ 180 องศา แล้วเส้นตรงคู่นั้นจะขนานกัน
ในทางกลับกัน ถ้าเส้นตรงคู่นี้ขนานกัน แล้วคู่ widehat{1} และ widehat{3} หรือคู่ widehat{2} และ widehat{4} จะรวมกันเท่ากับ 180 องศาด้วย

เส้นขนานกับมุมแย้ง

 ทฤษฎีบท
เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 1 จงพิจารณาว่า overleftrightarrow{AB} กับ overleftrightarrow{CD} ขนานกันหรือไม่

วิธีทำ จากรูป Bwidehat{X}Y=92^{circ} และ Xwidehat{Y}C=90^{circ}
ซึ่ง Bwidehat{X}Y และ Xwidehat{Y}C เป็นมุมแย้งกัน แต่ขนาดของทั้งสองมุมไม่เท่ากัน
ดังนั้น overleftrightarrow{AB} กับ overleftrightarrow{CD} ไม่ขนานกัน

ตัวอย่างที่ 2 จากรูป กำหนดให้ overleftrightarrow{AB} // overleftrightarrow{CD} จงหาค่าของ a

วิธีทำ จาก overleftrightarrow{AB} // overleftrightarrow{CD}
จะได้ Ahat{X}Y และ Xhat{Y}D เป็นมุมแย้งกัน แสดงว่ามีขนาดเท่ากัน

จาก overleftrightarrow{XY} จะได้ว่า 123^{circ}+Ahat{X}Y=180^{circ}
นั่นคือ Ahat{X}Y=57^{circ}
Ahat{X}Y = Xhat{Y}D =57^{circ}
ดังนั้น a=57

เส้นขนานกับมุมภายในและมุมภายนอก

 ทฤษฎีบท
เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้าง   เดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 3 จงพิจารณาว่า overleftrightarrow{AB} กับ overleftrightarrow{CD} ขนานกันหรือไม่

วิธีทำ จาก overleftrightarrow{CD} จะได้ว่า Cwidehat{Y}X+102^{circ}=180^{circ}
นั่นคือ Cwidehat{Y}X=78^{circ}
จะสังเกตได้ว่า มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน
ดังนั้น overleftrightarrow{AB} กับ overleftrightarrow{CD} ขนานกัน

ตัวอย่างที่ 4 จากรูป กำหนดให้ overleftrightarrow{AB} // overleftrightarrow{CD} จงหาค่าของ a

วิธีทำ จาก overleftrightarrow{AB} // overleftrightarrow{CD}
จะได้มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน
นั่นคือ Xwidehat{Y}D=2a^{circ}
จากมุมตรงข้ามกันมีขนาดเท่ากัน และ Xwidehat{Y}D อยู่ตรงข้ามกับมุม 70^{circ}
นั่นคือ Xwidehat{Y}D =70^{circ}
จะได้ว่า 2a^{circ}=70^{circ}
ดังนั้น a=35

เส้นขนานกับรูปสามเหล่ียม

 ทฤษฎีบท
ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหล่ียมออกไป แล้วมุมภายนอกที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเท่ากับผลบวกของขนาดมุมภายในที่   ไม่ใช่มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น

ตัวอย่างที่ 5 จากรูป จงหาค่าของ a

วิธีทำ จากรูป จะเห็นว่ารูปสามเหล่ียม ABC ถูกต่อ overleftrightarrow{CD} ออกไป
นั่นคือ Bwidehat{C}D=Bwidehat{A}C+Cwidehat{B}A
จะได้ว่า 130^{circ}=80^{circ}+a^{circ}
ดังนั้น a=50

ตัวอย่างที่ 6 จากรูป กำหนดให้ overleftrightarrow{EF} // overleftrightarrow{CD} จงหาค่าของ a

วิธีทำ จาก overleftrightarrow{EF} // overleftrightarrow{CD}
จะได้ว่า Fwidehat{E}C=Ewidehat{C}A เพราะเป็นมุมแย้งกัน
จะเห็นว่ารูปสามเหล่ียม ABC ถูกต่อ overleftrightarrow{CE} ออกไป
นั่นคือ Ewidehat{C}A=Cwidehat{A}B+Awidehat{B}C
จะได้ว่า 85^{circ}=a^{circ}+50^{circ}
ดังนั้น a=35

เนื้อหาของเส้นขนาน ม.2 ก็มีประมาณนี้น้าา จะเห็นว่าเรื่องนี้ไม่มีสูตรอะไรที่ให้น้อง ๆ จำเลย แต่ต้องอาศัยการเข้าใจทฤษฎีของเส้นขนาน, สมบัติและมุมต่าง ๆ ให้แม่นเป็นหลัก นอกจากนี้พี่แนะนำให้ฝึกจากการทำโจทย์ / แบบฝึกหัดเรื่องเส้นขนาน กันเยอะ ๆ เลย จะยิ่งทำให้น้อง ๆ คล่องมือกับโจทย์เรื่องนี้มากขึ้นนั่นเองง