ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ม.4 สรุปเนื้อหาพร้อมแจกโจทย์ให้ฝึกทำ !

หลังจากเรียนจบเทอม 1 กันไปแล้ว มีใครรู้สึกกังวลกับคณิต ม.ปลายบ้าง ? แน่นอนว่ายิ่งเรียนปีสูงขึ้นเท่าไหร่ เนื้อหามันก็ต้องยากขึ้นเรื่อย ๆ ใช่มั้ยย อาจจะทำให้หลายคนกังวลและกลัวว่าจะไม่เข้าใจในบางบทเรียน แต่ความเครียดนั้นจะหายไป เพราะพี่ ๆ ได้เตรียมสรุปคณิตศาสตร์มาให้ทุกคนได้อ่านก่อนสอบแล้ววว

ซึ่งบทเรียนที่พี่ ๆ เตรียมมาในวันนี้ก็เป็นหนึ่งในบทเรียนของคณิต ม.4 เทอม 2 อย่างเรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ใครที่ไม่เข้าใจเรื่องนี้ หรืออยากจะเตรียมตัวล่วงหน้า ควรอ่านบทความนี้น้าเพราะนอกจากจะสรุปเนื้อหาแล้ว ยังมีคลิป
ติวฟรีพร้อมโจทย์ให้ฝึกทำอีกด้วย !!

ความสัมพันธ์

“ความสัมพันธ์” เป็นคำที่เราใช้กันบ่อยมาก เช่น ความสัมพันธ์แบบเพื่อน แฟน Friend Zone หรือ แม้กระทั่งความสัมพันธ์ระหว่างสิ่งของกับสิ่งของก็ตาม อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์อยากลองนิยามคำว่า “ความสัมพันธ์” ให้ชัดเจนว่ามันมีหน้าตาเป็นอย่างไร มา !!! เดี๋ยวเราลองไปดูกันเลยยยย

ผลคูณคาร์ทีเซียน

บทนิยาม

ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือเซตของคู่อันดับ left ( a,b right ) ทั้งหมด

โดยที่ a  เป็นสมาชิกของเซต A และ b  เป็นสมาชิกของเซต B

สามารถเขียนผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B แทนด้วย Atimes B

เช่น กำหนดให้ A=left { 1,2,3 right } และ B=left { a,b right }

ดังนั้น Atimes B=left { (1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b) right }

ความสัมพันธ์

บทนิยาม

r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ Atimes B

เช่น กำหนดให้ A=left { 1,2,3 right } และ B=left { 1,3 right }

ถ้า r_{1}=left { (x,y)in Atimes Bmid x<y right } จะสามารถเขียนแจกแจงสมาชิกได้ดังนี้ r_{1}=left { (1,3),(2,3) right }

หรือเราสามารถเรียกได้ว่า r_{1} เป็นความสัมพันธ์ “น้อยกว่า” จาก A ไป B นั่นเอง

กราฟของความสัมพันธ์

ในหัวข้อนี้เราจะสนใจเฉพาะความสัมพันธ์ของจำนวนเท่านั้นนะ โดยเราสามารถนำความสัมพันธ์มาแสดงเป็นภาพได้โดยนำคู่อันดับในความสัมพันธ์มาแสดงเป็นพิกัดของจุดแล้ววางลงไปบนระนาบ XY ก็จะได้ออกมาเป็นกราฟของ
ความสัมพันธ์ต่าง ๆ

กราฟของความสัมพันธ์ r มีอยู่ 3 ลักษณะ

1. กราฟมีลักษณะเป็นจุด
   เช่น left ( x,y right ) เป็นสมาชิกของ mathbb{Z}times mathbb{Z}   ดังรูป
2. กราฟมีลักษณะเป็นเส้น
   เช่น left ( x,y right ) เป็นสมาชิกของ mathbb{R}times mathbb{R} มีเงื่อนไขเป็นสมการ ดังรูป
3. กราฟมีลักษณะเป็นพื้นที่
   เช่น left ( x,y right ) เป็นสมาชิกของ mathbb{R}times mathbb{R} มีเงื่อนไขเป็นอสมการ

ข้อสังเกต
เรานำสมาชิกตัวหน้ามาเป็นค่าตำแหน่งบนแกน X และนำสมาชิกตัวหลังเป็นค่าตำแหน่งบนแกน Y แล้วใช้ค่าตำแหน่ง
ทั้งสองมาเป็นพิกัดในการลงจุดเพื่อวาดกราฟนั่นเอง

โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์

คราวนี้ก็มาถึงหัวข้อที่สำคัญมาก ๆ และน้อง ๆ ทุกคนจะได้เจอในข้อสอบอย่างแน่นอนนั่น คือ โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ ซึ่งเราจะต้องหาทั้งในรูปแบบของเซตและกราฟได้ ดังนั้นเรามาทำความรู้จักกับบทนิยามของโดเมนและเรนจ์กันก่อนเลย

บทนิยาม

ให้ r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B

• โดเมนของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับทั้งหมดใน r เขียนแทนด้วย D_r
• เรนจ์ของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับทั้งหมดใน r เขียนแทนด้วย R_r

ตัวอย่างที่ 1 จงหาโดเมนและเรนจ์จากกราฟของความสัมพันธ์ที่กำหนดให้ต่อไปนี้

วิธีทำ

จากข้อ 1)

กำหนดให้เป็นกราฟของความสัมพันธ์ r_1

จะได้ว่า r_1=left { left ( -4, 2 right ), left ( -2, 0 right ), left ( 0, -2 right ), left ( 2, 0 right ), left ( 4, 2 right )right }

ดังนั้น D_{r_1}=left { -4, -2, 0, 2, 4 right } และ R_{r_1}=left { -2, 0, 2 right }

จากข้อ 2)

แนวคิด เราสามารถมองเส้นจากกราฟของความสัมพันธ์ r_2 ได้ว่าเป็นจุดจำนวนมากเรียงต่อกัน จนกลายเป็นเส้น ดังนั้น วิธีการหาโดเมนและเรนจ์จากกราฟในข้อนี้ สามารถมองได้ด้วยวิธีคล้ายกับกับข้อ 1)

สมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับจะเป็นจำนวนจริงทั้งหมดเลย (ตั้งแต่ -infty จนถึง infty )

ถ้าเริ่มมองจากแกน Y ด้านล่างขึ้นมา จะเห็นว่าสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับจะเป็นจำนวนตั้งแต่ -2 จนถึง infty

จะได้ว่า D_{r_2}=mathbb{R} และ R_{r_2}=[-2, infty )

จากตัวอย่างก่อนหน้า เราสามารถสรุปการหาโดเมนและเรนจ์จากกราฟของความสัมพันธ์ได้เป็นดังนี้เลยย

นอกจากการหาโดเมนและเรนจ์จากกราฟของความสัมพันธ์แล้ว ถ้าโจทย์ให้ความสัมพันธ์ที่เขียนในรูปของเซตแบบบอกเงื่อนไข เราจะใช้เทคนิคในการพิจารณาเงื่อนไขแล้วหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ ซึ่งจะมีขั้นตอนดังต่อไปนี้

เทคนิค การหาโดเมนและเรนจ์ด้วยวิธีพิจารณาจากเงื่อนไข

ให้พิจารณาเงื่อนไขดังนี้

• frac{blacktriangle }{blacksquare }
  จะได้ว่า blacksquare neq 0 (ตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์)
• sqrt[n]{blacksquare }=blacktriangle (เมื่อ n เป็นจำนวนคู่)
  จะได้ว่า blacksquare geqslant 0 และ blacktriangle geqslant 0

ตัวอย่างที่ 2 จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้

1) r_1=left { left ( x, y right )mid y=frac{1}{x+1} right }

วิธีทำ

พิจารณา  frac{1}{x+1} จะเห็นว่า x+1 ต้องไม่เป็นศูนย์

นั่นคือ xneq -1

ดังนั้น D_{r_1}=left {x mid xneq -1 right }=mathbb{R}-left { -1 right }

พิจารณา y=frac{1}{x+1}  

จะได้ว่า yneq 0

ดังนั้น R_{r_1}=left {y mid yneq 0 right }=mathbb{R}-left { 0 right }  

2) r_2=left { left ( x, y right )mid y=sqrt{x} right }

วิธีทำ

พิจารณา sqrt{x}

จะได้ว่า x ต้องไม่เป็นจำนวนลบ

ดังนั้น D_{r_2}=left {x mid xgeqslant 0 right }=[0, infty )

เนื่องจาก x ไม่เป็นจำนวนลบ แล้วแทน x ด้วย 0 ใน sqrt{x} จะได้ค่าที่น้อยที่สุดเท่ากับ 0

ดังนั้น R_{r_2}=left {y mid ygeqslant 0 right }=[0, infty )  

ตัวผกผันของความสัมพันธ์

บทนิยาม

ตัวผกผันของความสัมพันธ์ r คือความสัมพันธ์ที่เกิดจากการสลับที่ของสมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลัง
ในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ r

ตัวผกผันของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย r^{-1}  

เช่น ถ้า r=left { left ( 1,2 right ), left (3, 4  right ),left ( 5, 6 right ) right }  แล้วจะได้ว่า r^{-1}=left { left ( 2, 1 right ),left ( 4, 3 right ),left ( 6,5 right ) right }  

ก่อนหน้านี้เราเคยเขียนความสัมพันธ์ให้อยู่ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไข ดังนั้นเราก็สามารถเขียนตัวผกผันของความสัมพันธ์ให้อยู่ในรูปของเซตแบบบอกเงื่อนไขได้เช่นกัน

เช่น

แบบที่ 1: r^{-1}=left { left (y, x  right )in Btimes Amid left ( x, y right )in r right } หรือ

แบบที่ 2: r^{-1}=left { left (x, y  right )in Atimes Bmid left ( y, x right )in r right }

ซึ่งถ้าน้อง ๆ ลองสังเกตจะเห็นว่าการเขียนทั้งสองแบบเกิดจากการสลับ x และ y แต่แบบที่ 1 จะสลับที่ด้านหน้าเพียง
อย่างเดียว ส่วนแบบที่ 2 จะสลับที่เพียงด้านหลังอย่างเดียวเท่านั้น ถ้าใครเผลอไปเขียนตัวผกผันของความสัมพันธ์แล้วสลับทั้งสองที่จะผิดได้นะ !

ฟังก์ชัน

หลังจากที่เรารู้จักความสัมพันธ์กันไปแล้ว มันก็จะมีความสัมพันธ์บางอย่างที่เราได้ให้ชื่อมันเอาไว้ ซึ่งความสัมพันธ์ประเภทนี้จะเป็นพื้นฐานสำคัญที่นำไปต่อยอดในหัวข้ออื่น ๆ ได้อีกมากมาย ความสัมพันธ์นี้มีชื่อว่า “ฟังก์ชัน”

ความหมายของฟังก์ชัน

บทนิยาม

ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ที่คู่อันดับสองคู่อันดับใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้ามีสมาชิกตัวหน้าเหมือนกันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องเหมือนกัน

จากบทนิยามข้างต้น พี่จะขออธิบายง่าย ๆ แบบนี้น้าา ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ที่สมาชิกตัวหน้าแต่ละตัวจะจับกับสมาชิกตัวหลังเพียงค่าเดียวเท่านั้น !!

ฟังก์ชันโดยส่วนใหญ่มักจะเขียนแสดงได้ 3 รูปแบบคือ แผนภาพ เซต และกราฟของฟังก์ชัน โดยกราฟของฟังก์ชันจะถูก
ใช้บ่อยและมีความสำคัญมากกก พี่เลยจะขอยกให้เป็นหัวข้อใหญ่หลังจากพี่อธิบายการเขียนฟังก์ชันสองแบบแรกน้าา

1. เขียนในรูปของแผนภาพ

2. เขียนในรูปของเซต

สามารถเขียนได้ 2 แบบ คือ แบบแจกแจงสมาชิกตรง ๆ และ แบบบอกเงื่อนไข เช่น

แบบแจกแจงสมาชิก

• f=left { left ( 1,a right ),left ( 2,b right ),left ( 3,c right )right }

แบบบอกเงื่อนไข

• g=left { left (x,y right )|y = 2x+1 right }

ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ A = left { -1,0,1 right } จงพิจารณาความสัมพันธ์ต่อไปนี้ว่าเป็นฟังก์ชันหรือไม่

1. f=left { left (x,y right )in Atimes A|y = x right }

วิธีทำ

จาก f เมื่อเขียนความสัมพันธ์แบบแจกแจงสมาชิกจะได้

f=left { left (-1,-1  right ) left (0,0  right )left (1,1  right )right }

สังเกตว่า สมาชิกของแต่ละตัวใน f ไม่มีคู่อันดับตัวไหนเลยที่ “ถ้าเลขตัวหน้าในคู่อันดับซ้ำกันแล้วตัวหลังไม่ซ้ำกัน”

ดังนั้น f เป็นฟังก์ชัน

2.  g=left { left (x,y right)in Atimes A|y^{2} = x right }  

วิธีทำ

จาก g เมื่อเขียนความสัมพันธ์แบบแจกแจงสมาชิกจะได้

g=left { left (0,0  right ) left (1,1  right )left (1,-1  right )right }

สังเกตว่า g มีคู่อันดับ left (1,1  right ) และ left (1,-1  right ) มีเลขตัวหน้าในคู่อันดับซ้ำกันคือ เลข 1 และมีตัวหลังต่างกันคือ 1 และ -1

ดังนั้น g ไม่เป็นฟังก์ชัน

กราฟของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 4 จงพิจารณาว่ากราฟต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันหรือไม่

1.

วิธีทำ
ลากเส้นตรงในแนวตั้ง (ขนานแกน Y) ให้ตัดผ่านกราฟ สังเกตว่า ไม่มีกรณีใดเลยที่เส้นตรงลากผ่านกราฟแล้วเกิดจุดตัดกราฟมากกว่า 1 จุด ดังนั้น กราฟดังกล่าวเป็นฟังก์ชัน

2.

วิธีทำ
ลากเส้นตรงในแนวตั้ง (ขนานแกน Y) ให้ตัดผ่านกราฟ สังเกตว่า มีบางกรณีที่เส้นตรงลากผ่านกราฟแล้วเกิดจุดตัดกราฟมากกว่า 1 จุด เช่น

ดังนั้น กราฟดังกล่าวไม่เป็นฟังก์ชัน

ประเภทของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันที่เราศึกษานั้นสามารถแบ่งออกได้เป็น 3 ประเภทหลัก ๆ ได้แก่

1. ฟังก์ชันจาก A ไป B

บทนิยาม

f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็น A และเรนจ์เป็นสับเซตของ B

สังเกตได้ว่าฟังก์ชัน จาก A ไป B จะมีสมาชิกตัวหน้าอยู่ใน A และมีสมาชิกตัวหลังอยู่ใน B เสมอ โดยสมาชิกใน A จะถูกใช้ในฟังก์ชันหมดทุกตัว แต่สมาชิกใน B จะถูกใช้ในฟังก์ชันหมดทุกตัวหรือไม่ก็ได้

2. ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B

บทนิยาม

f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็น A และเรนจ์เป็น B

เช่น

สังเกตได้ว่าฟังก์ชัน จาก A ไปทั่วถึง B สมาชิกทุกตัวใน B จะถูกใช้ในฟังก์ชันทั้งหมด

3. ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B

บทนิยาม

f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ซึ่งสำหรับ x_{1}  และ x_{2}  ใด ๆ ใน A ถ้า fleft ( x_{1} right )=fleft ( x_{2} right ) แล้ว x_{1}= x_{2}

เช่น

สังเกตได้ว่าฟังก์ชัน 1-1 จาก A ไป B สมาชิกใน B จะถูกใช้ในฟังก์ชันไม่เกิน 1 ตัวเสมอ

ซึ่งการตรวจสอบกราฟว่าเป็นฟังก์ชัน 1-1 มั้ย สามารถทำได้โดยลากเส้นในแนวนอน (ขนานแกน X) ให้ตัดกับกราฟ
ถ้ามีกรณีใดเกิดจุดตัดระหว่างกราฟและเส้นในแนวนอนมากกว่า 1 จุด กราฟดังกล่าวจะไม่เป็นฟังก์ชัน 1-1

ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด

บทนิยาม

ให้ f เป็นฟังก์ชันซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจำนวนจริง และ A เป็นสับเซตของโดเมน

เช่น ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีกราฟดังรูป

f เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง [-1,1] และ

f เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง [-4,-1] และ [1,4]  

การดำเนินการของฟังก์ชัน

เรารู้จักฟังก์ชันกันมาพอสมควรแล้ว เดี๋ยวเราลองมาสร้างฟังก์ชันใหม่ที่ใช้ฟังก์ชันเดิมเป็นองค์ประกอบดีกว่า เนื่องจาก ฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นเซตของจำนวนที่สามารถบวก ลบ คูณ และหารได้ ดังนั้นเราจะใช้การดำเนินการต่าง ๆ
มาสร้างฟังก์ชันใหม่ดูบ้าง

พีชคณิตของฟังก์ชัน

บทนิยาม

ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของ mathbb{R}

กำหนดฟังก์ชัน f+g,f-g,fg และ  frac{f}{g}  ดังนี้

(f+g)(x)=f(x)+g(x)
(f-g)(x)=f(x)-g(x)
(fg)(x)=f(x)cdot g(x)
(tfrac{f}{g})(x)=frac{f(x)}{g(x)} เมื่อ g(x)neq 0

ตัวอย่างที่ 5 ให้ f(x)=2x+1  และ g(x)=x-3 จงหา f-g และ fg       

วิธีทำ เนื่องจากโดเมนของ f คือ mathbb{R}   และโดเมนของ g คือ mathbb{R}  ดังนั้น

(f-g)(x)=f(x)-g(x)=(2x+1)-(x-3) =2x+1-x+3=x+4

และ

(fg)(x)=f(x)cdot g(x)=(2x+1)cdot(x-3) =2x^{2}-6x+x-3=2x^{2}-5x-3

ฟังก์ชันประกอบ

บทนิยาม

ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน โดยที่ R_{f}cap D_{g}neq varnothing
ฟังก์ชันประกอบของ f และ g เขียนแทนด้วย g circ f คือฟังก์ชันที่โดเมน คือ
       D_{g circ f }= left { xin D_{f}|f(x)in D_{g}right }
และกำหนด g circ f โดย 
       g circ f (x)=g(f(x)) สำหรับทุก x ใน D_{g circ f }

ตัวอย่างที่ 6 ให้ f(x)=x-1 และ g(x)=3x จงหา g circ f (x) และ

f circ g (x)

วิธีทำ จาก  f(x)=x-1 และ g(x)=3x จะได้

g circ f (x)=g(f(x)) =g(x-1) =3(x-1)=3x-3

และ

f circ g (x)=f(g(x)) =f(3x) =(3x)-1=3x-1

ฟังก์ชันผกผัน

ในเรื่องตัวผกผันของความสัมพันธ์ เราหาได้จากการสลับสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังของแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกในความสัมพันธ์นั้น ลองคิดดูดี ๆ ฟังก์ชันก็เป็นความสัมพันธ์หนึ่งเช่นกัน ดังนั้น เราจึงสามารถใช้วิธีเดียวกันในการหาได้ แต่ตัวผกผันของฟังก์ชันนั้นไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันเสมอไป

เช่น f=left { (3,4),(6,4) right } เป็นฟังก์ชัน

แต่เราจะได้ f^{-1}=left { (4,3),(4,6) right } ไม่เป็นฟังก์ชัน

บทนิยาม

ให้ f เป็นฟังก์ชัน จะได้ว่า f มีฟังก์ชันผกผัน ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชัน 1 – 1

ตัวอย่างที่ 7 ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชัน 1 – 1 ซึ่งกำหนดโดย f(x)=2x-1 จงหาฟังก์ชันผกผัน

วิธีทำ

ให้  f(x)=y  

จะได้ y=2x-1  ต้องการหาตัวผกผัน

(เปลี่ยน x เป็น y และ เปลี่ยน y เป็น x)

จะได้ x=2y-1  

(จัดรูปโดยเขียน y ให้อยู่ในรูปของ x)

จะได้ y=frac{x+1}{2}  

ดังนั้น f^{-1}(x)=frac{x+1}{2}  

ดูคลิปติวฟรี ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ม.4

รวมคลิปติว ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ม.4

ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน (ปูพื้นฐาน) – 1

ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน (ปูพื้นฐาน) – 2

ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน (สรุปเนื้อหา)

ดูคลิปติวฟรีอื่น ๆ ได้ที่ YouTube : SmartMathPro

เป็นยังไงบ้างกับสรุปบทความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ม.4 อาจจะเนื้อหาเยอะหน่อย แต่ถ้าน้อง ๆ ทบทวนเนื้อหา รวมถึง
ฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ พี่เชื่อว่่าทุกคนจะเก่งขึ้น และทำคะแนนสอบได้ดีแน่นอนน ซึ่งถ้าใครอยากได้โจทย์ไปฝึกซ้อมมือเพิ่มเติม เสริมความมั่นใจ พี่ก็มีโจทย์และแบบฝึกหัดในคลังข้อสอบให้ทุกคนได้ไปดาวน์โหลดมาฝึกทำกันแบบฟรี ๆ ด้วยน้าา แวะเข้าไปดูกันได้เลยย

แต่ถ้าน้อง ๆ คนไหนที่ทบทวนเนื้อหา รวมถึงฝึกทำโจทย์เองแล้วก็ยังไม่เข้าใจ อยากได้คนช่วยไกด์ พี่ขอแนะนำคอร์สติวคณิตศาสตร์ ม.4 – 6 แบบบุฟเฟต์สำหรับเสริมเกรด จาก SmartMathPro เลยย สมัครครั้งเดียวคุ้มมากกเรียนได้จนจบม.6 พร้อมส่วนลดสูงสุด 35%

โดยในคอร์ส พี่ปูพื้นฐานละเอียด เจาะลึกเฉพาะบท อิงตามหลักสูตร สสวท. ใครพื้นฐานไม่ดีก็เรียนได้สบายมากใครสนใจดูรายละเอียดเพิ่มเติมก็ คลิก ได้เลย