อยากรู้ว่ามีน้อง ๆ คนไหนรู้จักหรือคุ้น ๆ สัญลักษณ์ sum กันบ้างง หลายคนอาจจะรู้อยู่แล้วว่ามันคือ ซิกมา (ซัมเมชัน) ซึ่งทุกคนจะได้เจอตอนเรียนคณิต ม.ปลาย
ซึ่งพี่เชื่อว่าน่าจะมีอีกหลายคนที่ยังไม่รู้จักสัญลักษณ์นี้และไม่รู้ว่ามันใช้เรียนในบทไหนใช่ไหม แต่ไม่ต้องกังวลน้า เพราะพี่มีสรุปเรื่องความหมาย พร้อมแจกสูตรและสมบัติของ ซิกมา (ซัมเมชัน) มาให้เรียบร้อยแล้ว ไปอ่านพร้อมกันได้เลยย > <
ซิกมา (ซัมเมชัน) คืออะไร ?
ซิกมา คือ สัญลักษณ์ที่ใช้ในการเขียนแสดงการบวกของจำนวนหรือพจน์ที่มีหลาย ๆ พจน์ต่อกัน หรือที่เรียกกันว่าอนุกรม ใช้เพื่อลดรูปการเขียนผลบวก (หรือผลรวม) แบบกระจายพจน์ ให้อยู่ภายใต้สัญลักษณ์ตัวนี้
ซึ่งผลบวกที่เขียนให้อยู่ในรูปซิกมาแล้ว เราจะเรียกว่า ซัมเมชัน (Summation) โดยน้อง ๆ จะได้เจอสัญลักษณ์นี้และได้ใช้ครั้งแรกในบท ลำดับและอนุกรม ในการพูดถึงผลบวกของลำดับ และจะได้ใช้อีกครั้งในบท สถิติ ที่จะต้องคำนวณผลบวกของค่าของตัวแปรต่าง ๆ
แนะนำสัญลักษณ์แสดงการบวก
การเขียนแสดงการบวกหลาย ๆ พจน์หรืออนุกรมนั้น เรามักจะใช้สัญลักษณ์จุดไข่ปลา 3 จุด cdots ซึ่งลอยอยู่ระหว่างเครื่องหมายดำเนินการ (+, -) เพื่อละพจน์อื่น ๆ ไว้ในฐานที่เข้าใจ เช่น
1+2+3+dots+100หมายถึงการบวกกันของจำนวนนับทุกจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง 100
แต่ว่าในบางครั้งรูปแบบของพจน์ที่เอามาบวกกันจะมีความซับซ้อน จึงไม่เหมาะกับการเขียนในลักษณะนี้ นักคณิตศาสตร์จึงคิดวิธีการเขียนแสดงการบวกโดยใช้สัญลักษณ์ “ซิกมา” ซึ่งเขียนแทนด้วย sum (ตัวอักษรกรีกตัวพิมพ์ใหญ่) เพื่อความสะดวกในการเขียนอนุกรมต่าง ๆ มากขึ้น
ถ้าให้ a_n เป็นพจน์ที่ n ของลำดับ จะเขียนแทนอนุกรมจำกัด a_1+a_2+a_3+dots+a_n ได้เป็น sum_{i=1}^{n} a_i
โดยองค์ประกอบแต่ละอย่างมีความหมายดังต่อไปนี้
สำหรับอนุกรมอนันต์ a_1+a_2+a_3+dots+a_{n}+cdots จะเขียนในรูปซัมเมชันได้เป็น sum_{i=1}^{infty}a_i อ่านว่า ซัมเมชัน a_i เมื่อ i เท่ากับ 1 ถึง infty (อินฟินิตี)
โดยทั่วไป การเขียนผลบวกในรูปซัมเมชัน สามารถใช้ตัวแปรเป็นตัวอักษรอื่น และดัชนีไม่จำเป็นต้องเริ่มต้นที่ 1 เสมอไป
ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนแทนสัญลักษณ์ต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปการบวก
- sum_{i=1}^{6} i
วิธีทำ sum_{i=1}^{6} i=1+2+3+4+5+6 - sum_{i=1}^{4} left(i^2-i right)
วิธีทำ sum_{i=1}^{4} left(i^2-i right)=left(1^2-1 right)+left(2^2-2 right)+left(3^2-3 right)+left(4^2-4 right) - sum_{i=1}^{infty} frac{5}{2^i}
วิธีทำ sum_{i=1}^{infty}frac{5}{2^i}=frac{5}{2^1}+frac{5}{2^2}+frac{5}{2^3}+cdots+frac{5}{2^n}+cdots
ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนอนุกรมต่อไปนี้โดยใช้สัญลักษณ์ sum
- 1+2+3+dots+100
วิธีทำ 1+2+3+dots+100=sum_{i=1}^{100} i - left(1^3+2right)+left(2^3+2right)+left(3^3+2right)+left(4^3+2right)+left(5^3+2right)
วิธีทำ left(1^3+2right)+left(2^3+2right)+left(3^3+2right)+left(4^3+2right)+left(5^3+2right)=sum_{i=1}^{5}left(i^3+2right) - 1cdot4+2cdot5+3cdot6+4cdot7+cdots
วิธีทำ
พจน์ที่ 1 มีตัวคูณ 2 ตัว คือ 1 และ 4
ซึ่ง 4=1+3
พจน์ที่ 2 มีตัวคูณ 2 ตัว คือ 2 และ 5
ซึ่ง 5=2+3
พจน์ที่ 3 มีตัวคูณ 2 ตัว คือ 3 และ 6
ซึ่ง 6=3+3
แสดงว่าพจน์ที่ i มีตัวคูณ 2 ตัว คือ i และ i+3
จะได้ 1cdot4+2cdot5+3cdot6+4cdot7+cdots=sum_{i=1}^{infty} ileft(i+3right)
สมบัติของซิกมา (ซัมเมชัน)
เช่น
- sum_{i=1}^{12} 3=12left(3right)=36
- sum_{i=1}^{20} 4i=4sum_{i=1}^{20} i
- sum_{i=1}^{40} left(i^2+iright)=sum_{i=1}^{40} i^2+sum_{i=1}^{40}i
- sum_{i=1}^{40} left(i^2-iright)=sum_{i=1}^{40} i^2-sum_{i=1}^{40}i
สูตรเกี่ยวกับซิกมา (ซัมเมชัน)
สูตรของผลบวกอนุกรมที่น่าสนใจและใช้เป็นประจำ มีอยู่ 3 สูตรด้วยกัน คือ สูตรของ
sum_{i=1}^{n}ispace,sum_{i=1}^{n}i^2 และ sum_{i=1}^{n}i^3 เมื่อ n เป็นจำนวนนับ จะได้ผลลัพธ์ตามนี้เลย
เช่น
- sum_{i=1}^{12}i=frac{12left(12+1right)}{2}=78
- sum_{i=1}^{7}i^2=frac{left(7right)left(7+1right)left[2left(7right)+1right]}{6}=140
- sum_{i=1}^{5}i^3=left[frac{left(5right)left(5+1right)}{2}right]^2=225
ด้วยสูตรเหล่านี้ จะทำให้เราสามารถลดระยะเวลาในการคำนวณหาผลบวกที่มีจำนวนพจน์เยอะ ๆ ได้โดยไม่ต้องเสียเวลาคิดทีละพจน์บวกกัน
แบบฝึกหัดซิกมา (ซัมเมชัน) พร้อมเฉลย
ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่าของ sum_{i=1}^{20}left(2i+3right)
วิธีทำ
sum_{i=1}^{20}left(2i+3right) =sum_{i=1}^{20} 2i + sum_{i=1}^{20} 3\
=2sum_{i=1}^{20} i + 3left(20right)\
=2cdotfrac{left(20right)left(20+1right)}{{2}} + 60\
=420 + 60\
=480
ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าของ sum_{i=1}^{8}left(i^3-i^2right)
วิธีทำ
sum_{i=1}^{8}left(i^3-i^2right) =sum_{i=1}^{8}i^3-sum_{i=1}^{8}i^2\
=36^2-204\
=1,296-204\
=1,092\
ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าของ sum_{k=1}^{10}left(k-7right)left(k+2right)
แนวคิด ถ้าภายในซิกมา มีพจน์ตั้งแต่ 2 พจน์ขึ้นไปคูณกัน เราจะไม่สามารถกระจายซิกมาเข้าไปในแต่ละพจน์ได้ ต้องจับแต่ละพจน์คูณกันให้เรียบร้อยก่อนจึงจะกระจายได้
วิธีทำ
sum_{k=1}^{10}left(k-7right)left(k+2right)=sum_{k=1}^{10}left(k^2-5k-14right)\
=sum_{k=1}^{10}k^2-sum_{k=1}^{10}5k-sum_{k=1}^{10}14\
=sum_{k=1}^{10}k^2-5sum_{k=1}^{10}k-sum_{k=1}^{10}14\
=frac{left(10right)left(11right)left(21right)}{6}-5cdotfrac{left(10right)left(11right)}{2}-140\
=385-275-140\
=-30\
ดูคลิปติว “ซิกมา” (ซัมเมชัน)
ติดตามคลิปติวฟรีอื่น ๆ จากพี่ปั้น ได้ทาง YouTube Channel : SmartMathPro
พี่เชื่อว่าทุกคนน่าจะรู้จักเกี่ยวกับ “ซิกมา” แบบเบื้องต้นกันไปประมาณหนึ่งแล้ว และหวังว่าจะนำไปประยุกต์กับเนื้อหาลำดับและอนุกรม รวมถึงบทอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องได้น้าา อย่างไรก็ตามถ้าอยากจะเก่งคณิตมากขึ้น พี่แนะนำว่าให้ทบทวนเนื้อหาและควรฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ ด้วยย
หรือถ้าน้อง ๆ รู้สึกว่าเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.ปลายดูเป็นเรื่องยาก กลัวว่าถ้าทบทวนเองแล้วจะไม่เข้าใจ จนทำให้เรียนบทอื่นต่อไม่ได้ อยากเสริมพื้นฐานให้แน่นและอยากได้คนช่วยไกด์ พี่ก็ขอแนะนำคอร์สติวคณิตศาสตร์ ม.4 – 6 แบบบุฟเฟต์สำหรับเสริมเกรด จาก SmartMathPro เลยย สมัครครั้งเดียวคุ้มมากกเรียนได้จนจบม.6 พร้อมส่วนลดสูงสุด 35%
โดยในคอร์ส พี่ปูพื้นฐานละเอียด เจาะลึกเฉพาะบท อิงตามหลักสูตร สสวท. ใครพื้นฐานไม่ดีก็เรียนได้สบายมากใครสนใจดูรายละเอียดเพิ่มเติมก็ คลิก ได้เลย !!
