ตรีโกณมิติ ม.3 สรุปเนื้อหาพร้อมโจทย์แบบจัดเต็ม จบในที่เดียว !

ใครกำลังหาสรุปเนื้อหา ตรีโกณมิติ ม.3 อยู่ ต้องรีบมารวมกันตรงนี้เลยยย วันนี้พี่เตรียมเนื้อหานี้มาให้น้อง ๆ ม.3
และน้อง ๆ ม.2 ที่อยากเตรียมตัวล่วงหน้าโดยเฉพาะเลยย เพราะพี่เชื่อว่าตรีโกณเป็นอีก 1 วิชาที่ยากและต้องเป็นไม้เบื่อ
ไม้เมาของหลายคนแน่นอนนน แต่ไม่ต้องกังวลไปน้าา เพราะพี่สรุปหัวข้อ สูตร พร้อมตัวอย่างโจทย์ตรีโกณมิติมาให้
หมดแล้ว ถ้าใครพร้อมแล้วเราก็ไปลุยกันเลย !

ตรีโกณมิติ ม.3

ความหมายของอัตราส่วนตรีโกณมิติ

น้อง ๆ หลายคนเคยสงสัยไหมว่า เวลาที่เราเล่มเกม ไม่ว่าจะเป็นเกมขับรถ เกมเดินตะลุยสิ่งกีดขวาง คนพัฒนาเกมสร้างให้
ตัวละครเคลื่อนไหวได้ยังไง 

พี่ขอยกตัวอย่างเพิ่มเติม เช่น หากคนพัฒนาเกมต้องการกำหนดให้ตัวละครกระโดด ให้น้อง ๆ สังเกตการกระโดดแล้วจะเห็นว่าตัวละครจะพุ่งขึ้นไปจนถึงจุดสูงสุดและลงมายังจุดต่ำสุด (ซึ่งก็แล้วแต่เกมอีกเช่นกัน บางเกมอาจจะร่วงตกลงมาเลย บางเกมอาจจะพุ่งไปด้านหน้าอีกนิดนึง) นั่นแปลว่าเราจะต้องพิจารณา จุดเริ่มกระโดด จุดสูงสุด และ
จุดตกลงมา จากสามจุดนี้จะทำให้เห็นว่ามันคือรูปเรขาคณิต (ที่น้อง ๆ ทุกคนรู้จัก) นั่นคือรูปสามเหลี่ยมนั่นเอง

ถ้าเราต้องการคาดคะเนระยะการกระโดดต่าง ๆ เพิ่มเติม เราต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับอัตราส่วนตรีโกณมิติมาช่วยใน
การคำนวณ

หากลองย้อนกลับไปในสมัยก่อน คนสนใจที่จะวัดความยาวของรูปสามเหลี่ยมชนิดต่าง ๆ จึงตั้งชื่อเล่นให้กับการวัด
ในลักษณะนี้ โดยกำหนดให้ชื่อนั้นมีที่มาจากคำว่า trigonon ที่แปลว่ารูปสามเหลี่ยม และ metron ที่แปลว่าการวัด รวมกันเป็นชื่อว่า trigonometry หรือ ตรีโกณมิติ นั่นเอง วันเวลาผ่านไปความรู้เรื่องตรีโกณมิติถูกใช้อย่างแพร่หลายและเป็นที่ต้องการอย่างมาก จนกลายที่ต้องเรียนในวิชาคณิตศาสตร์ไปแล้ววว

รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

จากที่เราได้รู้ความหมายไปแล้ว เราก็พอจะรู้แล้วว่าในบทนี้ เราจะสนใจรูปสามเหลี่ยมเป็นหลัก โดยรูปที่เราสนใจศึกษามากที่สุดในบทนี้ คือ รูปสามเหลี่ยมมุมฉากนั่นเอง เดี๋ยวเราลองมาดูกันเลยยย

รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมทั้งหมด 3 มุมแต่มี 1 มุมเป็นมุมฉาก ถ้าเราให้รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มี C เป็นมุมฉาก เราจะเรียกแต่ละด้านดังต่อไปนี้

overline{AB} คือ ด้านตรงข้ามมุมฉาก (hypotenuse)

overline{BC} คือ ด้านตรงข้ามมุม A (the opposite side of angle A)

overline{AC} คือ ด้านประชิดมุม A (the adjacent side of angle A)

ข้อสังเกต ชื่อด้านที่เราเรียกตามรูปข้างต้นจะพิจารณาที่มุม A เป็นหลัก แต่ถ้าเปลี่ยนมาพิจารณามุม B เราก็ยังมีชื่อเรียกของด้านเหล่านี้เหมือนกัน โดย overline{AC} จะเป็นด้านตรงข้ามมุม B และ overline{BC} จะเป็นด้านประชิดมุม B นั่นเอง

หลังจากที่น้องได้รู้จักชื่อเรียกด้านต่าง ๆ ของสามเหลี่ยมมุมฉากเพื่อให้จดจำและเข้าใจง่ายแล้ว ทีนี้เราจะมาเรียนรู้ว่า
จะเอามันมาใช้ประโยชน์ยังไงกัน !! ซึ่งจะเอามาใช้ในเรื่องอัตราส่วนตรีโกณมิติเนี่ยแหละ ไปต่อกันเลยยย

อัตราส่วนตรีโกณมิติ

รูปสามเหลี่ยมมีองค์ประกอบที่สำคัญ คือ ด้านแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมและมุมทั้ง 3 มุม ซึ่งต่อไปเราจะมาดู
ความสัมพันธ์ของแต่ละองค์ประกอบกันเลย

รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ซึ่งมี C เป็นมุมฉาก เมื่อเราพิจารณามุมมุมหนึ่งที่ไม่ใช่มุมฉาก เช่น มุม A แล้วจะได้ว่า

ไซน์ของมุม A, โคไซน์ของมุม A และแทนเจนต์ของมุม A เนี่ยแหละ เราจะเห็นว่ามันคือการเอาความยาวด้านแต่ละด้านมาเทียบกันเป็นคู่ ๆ เราเรียกมันว่าอัตราส่วนตรีโกณมิติ ซึ่งอัตราส่วนตรีโกณมิติเดียวกันของมุมมุมหนึ่งเป็นค่าคงตัวค่าหนึ่งเสมอ และเราจะนิยมเขียน   

sinA แทน ไซน์ของมุม A และอ่านว่า ไซน์ A

cosA แทน โคไซน์ของมุม A และอ่านว่า คอส A

tanA แทน แทนเจนต์ของมุม A และอ่านว่า แทน A

ตัวอย่างที่ 1 จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่กำหนดให้ จงหาค่า sinA, cosA, tanA, sinB, cosB, tanB

จากรูปจะได้ว่า

sinA = frac{12}{13} cosA = frac{5}{13} tanA = frac{12}{5} sinB = frac{5}{13} cosB = frac{12}{13} tanB = frac{5}{12}

อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมที่มีขนาด 30 องศา, 45 องศา และ 60 องศา

จากหัวข้อก่อนหน้าเราได้รู้จักกับอัตราส่วนตรีโกณมิติไปแล้ว ซึ่งเรารู้ว่าอัตราส่วนตรีโกณมิติในมุมที่มีขนาดเท่ากัน
จะมีค่าเท่ากัน ซึ่งจริง ๆ แล้วขนาดของมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นมีหลายมุมมากเลยนะ แต่ในระดับชั้น ม.3 เราจะโฟกัสแค่มุมแหลมที่มีขนาด 30^{circ} , 45^{circ} , 60^{circ}

 สมบัติ
สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ อัตราส่วนตรีโกณมิติเดียวกันของมุมที่มีขนาดเท่ากัน จะมีค่าเท่ากัน

ถ้าน้อง ๆ ยังจำค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิติต่าง ๆ ของมุม 30^{circ}, 45^{circ}, 60^{circ} จากในตารางไม่ได้ พี่มีเทคนิควิธีจำค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิติแบบเก๋ ๆ ของมุม 30^{circ}, 45^{circ}, 60^{circ} มาฝากกัน ยกมือซ้ายขึ้นมา แล้วลองไปดูกันว่าเทคนิคนี้มีวิธียังไงกันบ้างงง

วิธีใช้เทคนิคมือ (ซ้าย)

ขั้นตอนการหาค่าโดยใช้เทคนิคมือ (ซ้าย) 

• เลือกมุมที่เราต้องการพิจารณา
• พับนิ้วลง ตามมุมในรูป เช่น ต้องการพิจารณามุม  30^{circ} ให้พับนิ้วชี้ลง
• การหาค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิติ จะหาได้จากการนับจำนวนนิ้วจากด้านซ้ายหรือด้านขวาที่แตกต่างกัน

ลองใช้เทคนิคมือซ้ายในการหาค่า เช่น

• ต้องการหาค่า sin60^{circ}
  ให้พับนิ้วนางลง เหลือ 3 นิ้วทางด้านซ้าย เลยได้ว่าค่าของ sin60^{circ} มีค่าเท่ากับ frac{sqrt{3}}{2} 
• ต้องการหาค่า cos45^{circ} 
  ให้พับนิ้วกลางลง เหลือ 2 นิ้วทางด้านขวา เลยได้ว่าค่าของ cos45^{circ}  มีค่าเท่ากับ frac{sqrt{2}}{2} นั่นคือ cos45^{circ}=frac{sqrt{2}}{2}=frac{sqrt{2}}{sqrt{2}times sqrt{2}}=frac{1}{sqrt{2}} จะเห็นว่าได้ค่าเท่ากับตารางด้านบนเลย
• ต้องการหาค่า tan60^{circ}
  ให้พับนิ้วนางลง มี 3 นิ้วทางด้านซ้าย และ 1 นิ้วทางด้านขวา เลยได้ว่าค่าของ tan60^{circ}
  มีค่าเท่ากับ frac{sqrt{3}}{sqrt{1}}=sqrt{3}

ตัวอย่างที่ 2 จากรูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้ จงหาขนาดของมุม x และมุม y 

แนวคิด เราจะมาพิจารณากันว่ารูปสามเหลี่ยมข้างต้นนี้ เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ ถ้าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติในการหาขนาดของมุมต่อไป

วิธีทำ

จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส “กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวของด้านประกอบมุมฉาก”

จากรูปสามเหลี่ยม

ABC จะได้ว่า CB^{2}=AB^{2}+AC^{2}

แทนค่าได้ว่า 10^{2}=5^{2}+(5sqrt{3})^{2}

100=25+75

100=100 ซึ่งเป็นจริง

ดังนั้น รูปสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มีมุม A เป็นมุมฉาก

จากมุม x

พิจารณา cosx =frac{5}{10}=frac{1}{2}

จาก cos60^{circ}=frac{1}{2}

ดังนั้น x=60^{circ}

จากมุม y

พิจารณา tany=frac{5}{5sqrt{3}}=frac{1}{sqrt{3}}

จาก tan30^{circ}=frac{1}{sqrt{3}}

ดังนั้น y=30^{circ}

ตัวอย่างที่ 3 จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากต่อไปนี้ จงหาค่า x และ y

วิธีทำ จาก tan60^{circ}=sqrt{3} 

จากรูป จะได้ว่า frac{10sqrt{3}}{x}=sqrt{3} 

10sqrt{3}=xsqrt{3} x=10

จากค่า sin60^{circ}=frac{sqrt{3}}{2} 

จากรูปจะได้ว่า frac{10sqrt{3}}{y} =frac{sqrt{3}}{2} 

(10sqrt{3})(2)=ysqrt{3} 20sqrt{3}=ysqrt{3} y=20

ตัวอย่างที่ 4 จงหาผลลัพธ์ของ sin30^{circ} + (cos45^{circ})^{2}

วิธีทำ

จาก sin30^{circ}=frac{1}{2},cos45^{circ}=frac{sqrt{2}}{2}

จะได้ว่า sin30^{circ} + (cos45^{circ})^{2} = frac{1}{2}+left (frac{sqrt{2}}{2}right)^{2}=frac{1}{2}+frac{2}{4}=frac{1}{2}+frac{1}{2}=1

ดังนั้น sin30^{circ} + (cos45^{circ})^{2}  =1

โจทย์ปัญหาอัตราส่วนตรีโกณมิติ

ในการแก้ปัญหาที่ต้องใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติ จำเป็นต้องทราบขนาดของมุมด้วยน้า และการแก้โจทย์ปัญหาในเรื่องนี้เราจะใช้มุมที่เกิดจากการมองด้วยสายตา ซึ่งมีคำที่ใช้ในการเรียกมุมที่ทำกับแนวเส้นระดับสายตา 2 แบบด้วยกัน คือ
มุมก้ม (angle of depression) และมุมเงย (angle of elevation)

จากรูป จะเห็นได้ว่า

• มุมก้ม เป็นมุมที่เกิดจากการมองวัตถุที่อยู่ต่ำกว่าแนวเส้นระดับสายตา
• มุมเงย เป็นมุมที่เกิดจากการมองวัตถุที่อยู่สูงกว่าแนวเส้นระดับสายตา

เรามาดูตัวอย่างวิธีการใช้งาน โดยผ่านตัวอย่างนี้กัน

ตัวอย่างที่ 5 บันไดวางพาดกำแพงโดยทำมุม 30^{circ} กับพื้น ถ้าปลายอีกด้านของบันไดอยู่ห่างจากฐานกำแพงอยู่
6sqrt{3} เมตร แล้วบันไดยาวกี่เมตร

วิธีทำ

กำหนดให้ บันไดยาว x เมตร

จะได้ว่า cos30^{circ}=frac{6sqrt{3}}{x} 

จาก cos30^{circ}=frac{sqrt{3}}{2} 

จะได้ frac{sqrt{3}}{2}=frac{6sqrt{3}}{x}    

xsqrt{3}=12sqrt{3}  x=12

ดังนั้น บันไดยาว 12   เมตร

เป็นยังไงกันบ้างงง กับเนื้อหาตรีโกณมิติ ม.3 หลายคนพออ่านจบแล้ว อาจจะรู้สึกว่าเนื้อหาเยอะ แล้วก็ยากด้วย แต่ถ้าลองค่อย ๆ ทำความเข้าใจ รวมถึงทบทวนเนื้อหาและฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ พี่เชื่อว่าเนื้อหาตรีโกณมิติ ม.3 ก็จะไม่ยากเกินความสามารถของทุกคนแน่นอนน ซึ่งถ้าใครอยากได้โจทย์เอาไว้ซ้อมมือ พี่ก็มีแบบฝึกหัดตรีโกณมิติ ม.3 มาให้ทุกคนได้ลองทำด้วยน้าา ไปดาวน์โหลดกันได้เลยย

แต่ถ้าใครที่ลองทบทวนหรือฝึกทำโจทย์เองแล้วยังมีเนื้อหาบางจุดที่ยังไม่เข้าใจ ต้องการคนช่วยไกด์เนื้อหาให้เข้าใจมากขึ้น พี่ขอแนะนำคอร์สติวคณิต ม.3 จาก SmartMathPro เลยย คอร์สนี้มีทั้งเนื้อหาของทั้งเทอม 1 และเทอม 2 ครบทุกบท ซึ่งพี่จะปูพื้นฐานให้แบบละเอียด เจาะลึกเฉพาะบท อิงตามหลักสูตร สสวท. พร้อมพาตะลุยโจทย์และแบบฝึกหัดจำนวนมาก โดยเริ่มจากง่ายไปจนถึงระดับข้อสอบแข่งขันจากสนามต่าง ๆ แถมยังมี Quiz ทบทวนความเข้าใจแต่ละบทให้ด้วยน้า 

ดังนั้นน้อง ๆ คนไหนที่พื้นฐานไม่แน่นก็เรียนได้ ไม่ต้องกังวลเลยว่าจะเรียนไม่ทัน !! และถ้าโรงเรียนของน้อง ๆ สอนไม่ตรงตามคอร์สที่มี ก็สามารถเลือกเรียนแบบแยกบทได้เลยย เริ่มต้นเพียง 360 บาทเท่านั้น ใครสนใจดูรายละเอียดเพิ่มเติม คลิก ได้เลยน้าา

ดูคลิปติว ตรีโกณมิติ ม.3

ติดตามคลิปติวฟรีอื่น ๆ จากพี่ปั้น ได้ทาง YouTube Channel : SmartMathPro