พอพูดถึงชื่อ ตรีโกณมิติ หลายคนคงจะนึกถึงเนื้อหาที่เคยเรียนผ่านกันมาแล้วตอน ม.3 ใช่ไหมม คราวนี้น้อง ๆ จะได้กลับมาเรียนบทนี้กันอีกครั้งในคณิต ม.5 กับเรื่อง “ฟังก์ชันตรีโกณมิติ” ที่เนื้อหายากขึ้น แต่ไม่ต้องกังวลน้าา เพราะพี่ทำสรุปเนื้อหาของเรื่องนี้มาให้ทุกคนแล้วววว แถมยังมีสรุปสูตรที่ควรรู้สำหรับบทฟังก์ชันตรีโกณมิติ ม.5 รวมถึงตัวอย่างโจทย์และคลิปติวฟรีให้ทุกคนได้อัปคะแนนสอบกัน !!
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
การวัดมุม
หน่วยในการวัดมุมที่น้อง ๆ รู้จักกันแล้วจากการเรียนบทอัตราส่วนตรีโกณมิติในระดับม.3 คือ องศา (degree) เขียนแทนสัญลักษณ์ ^circ เช่น 0^{circ}, 60^{circ}, 135^{circ}, 360^{circ} เป็นต้น
หน่วยวัดมุมที่สำคัญอีกหน่วยหนึ่ง คือ เรเดียน (radian)
มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมรัศมียาว r หน่วย ซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งของวงกลมที่ยาว a หน่วย มีขนาดเท่ากับ frac{a}{r} เรเดียน และถ้าให้ขนาดของมุมดังกล่าวเป็น theta เรเดียน จะได้ theta = frac{a}{r}
เนื่องจากมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีรัศมียาว r หน่วย มีขนาด 2pi เรเดียนหรือ 360 องศา
ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า
180 องศา เท่ากับ pi เรเดียน
เปล่ียนมุมในหน่วยเรเดียนเป็นองศา
ตัวอย่างที่ 1 มุมที่มีขนาด 60 องศา มีขนาดกี่เรเดียนแนวคิด ให้น้อง ๆ ทำเหมือนตอนเทียบบัญญัติไตรยางศ์ได้เลย !วิธีทำ จาก 180 องศา เท่ากับ pi เรเดียนจะได้ 60 องศาเท่ากับ frac{pi}{180}times 60 = frac{pi}{3} เรเดียนดังนั้น มุมที่มีขนาด 60 องศา เท่ากับ frac{pi}{3} เรเดียนตัวอย่างที่ 2 มุมที่มีขนาด frac{pi}{4} เรเดียน มีขนาดกี่องศาแนวคิด แทน pi ด้วย 180^{circ} ได้เลยวิธีทำ จาก 180 องศา เท่ากับ pi เรเดียนจะได้ frac{pi}{4} เรเดียน เท่ากับ frac{180}{4} = 45 องศาดังนั้น มุมที่มีขนาด frac{pi}{4} เรเดียน เท่ากับ 45 องศา
ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก
ความรู้เดิมในระดับชั้น ม.3 ที่จะถูกนำมาต่อยอดในระดับชั้นนี้คือ อัตราส่วนตรีโกณมิติ กล่าวถึงอัตราส่วนของความยาวด้านของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก 6 แบบ ดังนี้
การหา sin30° และ cos45° โดยใช้เทคนิคมือซ้าย
การหาค่า sin30^{circ}
1. ให้พับนิ้วชี้มือซ้ายลง
2. พิจารณาว่าด้านซ้ายของนิ้วที่พับลงมีนิ้วอยู่กี่นิ้ว (จะได้ว่ามี 1 นิ้ว)
3. นำจำนวนที่ได้มาใส่ใน sqrt{} (กรณฑ์ที่ 2)
4. จะได้ว่า sin30^{circ} = frac{sqrt{1}}{2} = frac{1}{2}
การหาค่า cos45^{circ}
1. ให้พับนิ้วกลางมือซ้ายลง
2. พิจารณาว่าด้านขวาของนิ้วที่พับลงมีนิ้วอยู่กี่นิ้ว (จะได้ว่ามี 2 นิ้ว)
3. นำจำนวนที่ได้มาใส่ใน sqrt{} (กรณฑ์ที่ 2)
4. จะได้ว่า cos45^{circ} = frac{sqrt{2}}{2}
โคฟังก์ชัน (co-function)
ก่อนจะพูดถึงสูตรเรามาสังเกตจากชื่อเต็มกันก่อน
(sin) sine → (cos) cosine
(tan) tangent → (cot) cotangent
(sec) secant → (cosec) cosecant
จะเห็นว่าชื่อเต็มของ cos คือ textrm{cosine} ซึ่งคล้ายกับ textrm{sine} แต่มีการเติม textrm{co-} เพิ่มเข้ามา ดังนั้น sin กับ cos จึงถือว่าเป็น
“โคฟังก์ชัน” กัน ในทำนองเดียวกัน tan กับ cot และ sec กับ cosec ก็เป็นโคฟังก์ชันซึ่งกันและกัน
สูตรโคฟังก์ชันเป็นสูตรที่กล่าวถึงมุม A และมุม B ที่มีผลรวมได้ 90^{circ} แล้วค่า “โคฟังก์ชัน” ของมุม A จะเท่ากันกับมุม B
เช่น sin10^{circ} = cos80^{circ}
tan25^{circ} = cot65^{circ}
cosec30^{circ} = sec60^{circ}
ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมลบ
เมื่อกำหนดจำนวนจริง theta จากจุด (1, 0) วัดระยะไปตามส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วยให้ยาว left | theta right | หน่วย
จะถึงจุด (x, y) ซึ่งอยู่บนวงกลมหนึ่งหน่วย โดยมีข้อตกลงสำหรับทิศทางการวัดดังนี้
เมื่อ theta>0 (เป็นบวก) จะวัดไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา
เมื่อ theta<0 (เป็นลบ) จะวัดไปในทิศทางตามเข็มนาฬิกา ดังรูป
สูตรของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ควรรู้
ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ sin A = frac{4}{5}, 0<A<frac{pi}{2} และ
cos B = frac{1}{sqrt{5}}, -frac{pi}{2}<B<0 จงหา sin(A+B)แนวคิด หา cosA และ sinB จากสูตรเอกลักษณ์ตรีโกณมิติก่อน แล้วแทนค่าในสูตรผลบวกมุมเพื่อหา sin(A+B)วิธีทำจาก sin^{2}A + cos^{2}A = 1จะได้ว่า cos^{2}A=1-sin^{2}A=1-(frac{4}{5})^{2}=1-frac{16}{25}=frac{9}{25}เนื่องจาก 0<A<frac{pi}{2}ดังนั้น cosA=frac{3}{5}จาก sin^{2}B+cos^{2}B=1จะได้ว่า sin^{2}B=1-cos^{2}B=1-(frac{1}{sqrt{5}})^{2}=1-frac{1}{5}=frac{4}{5}เนื่องจาก -frac{pi}{2}<B<0ดังนั้น sinA=-frac{2}{sqrt{5}}=-frac{2sqrt{5}}{5}พิจารณา sin(A+B)จาก sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBจะได้ว่า sin(A+B)=(frac{4}{5})(frac{sqrt{5}}{5})+(frac{3}{5})(-frac{2sqrt{5}}{5})= frac{4sqrt{5}}{25}-frac{6sqrt{5}}{25}= -frac{2sqrt{5}}{25}ดังนั้น sin(A+B)=-frac{2sqrt{5}}{25}ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าของ 2cos15^{circ}sin75^{circ}วิธีทำจาก 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)จะได้ 2cos15^{circ}sin75^{circ}= sin(15^{circ}+75^{circ})-sin(15^{circ}-75^{circ})= sin90^{circ}-sin(-60^{circ})
= 1-(-frac{sqrt{3}}{2})
= 1+frac{sqrt{3}}{2}
= frac{2+sqrt{3}}{2}ดังนั้น 2cos15^{circ}sin75^{circ}=frac{2+sqrt{3}}{2}
สูตรแปลงผลบวกเป็นผลคูณ
จะเห็นว่าไม่มีสูตรแปลงผลบวกระหว่าง sin กับ cos
ดังนั้นถ้าน้อง ๆ อยากใช้สูตร สามารถใช้โคฟังก์ชันแปลงจาก sin ให้เป็น cos หรือจาก cos เป็น sin ได้ ดังตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าของ sin75^{circ}+cos75^{circ}แนวคิด พิจารณาสิ่งที่โจทย์กำหนดให้ พบว่าน่าจะใช้สูตรแปลงผลบวกเป็นผลคูณได้ ไม่มี sinA+cosA ดังนั้นต้องใช้
โคฟังก์ชันในการเปล่ียนก่อน ให้เป็น cosA+cosB ก่อนแล้วจึงใช้สูตรวิธีทำ จาก sinA=cos(90^{circ}-A)จะได้ sin75^{circ}=cos(90^{circ}-75^{circ})=cos15^{circ}จาก cosA+cosB=2cos(frac{A+B}{2})cos(frac{A-B}{2})จะได้ว่า sin75^{circ}+cos75^{circ} = cos15^{circ}+cos75^{circ}= cos75^{circ}+ cos15^{circ}= 2cos(frac{75^{circ}+15^{circ}}{2})cos(frac{75^{circ}-15^{circ}}{2})= 2cos45^{circ}cos30^{circ}= 2(frac{sqrt{2}}{2})(frac{sqrt{3}}{2})= frac{sqrt{6}}{2}ดังนั้น sin75^{circ}+cos75^{circ}=frac{sqrt{6}}{2}
สูตรมุมสองเท่า
ตัวอย่างที่ 6 กำหนดให้ costheta=frac{4}{5} และ sintheta<0จงหาค่าของ tan2thetaแนวคิด ใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติมาช่วยหาค่าของ sintheta เพื่อให้ได้ tantheta ต่อไปจากนั้นสามารถใช้สูตรมุมสองเท่าเพื่อหา tan2theta ได้วิธีทำ เนื่องจาก sin^{2}theta+cos^{2}theta=1จะได้ว่า sin^{2}theta=1-cos^{2}theta=1-(frac{4}{5})^{2}=1-frac{16}{25}=frac{9}{25}ดังนั้น sintheta=-frac{3}{5}จาก tantheta=frac{sintheta}{costheta}จะได้ tantheta=frac{-frac{3}{5}}{frac{4}{5}}=(-frac{3}{5})(frac{5}{4})=-frac{3}{4}จาก tan2theta=frac{2tantheta}{1-tan^{2}theta}จะได้ว่า tan2theta=frac{2(-frac{3}{4})}{1-(-frac{3}{4})^{2}}=frac{-frac{3}{2}}{1-frac{9}{16}}=frac{-frac{3}{2}}{frac{7}{16}}=(-frac{3}{2})(frac{16}{7})=(-frac{24}{7})ดังนั้น tan2theta=-frac{24}{7}
สมการตรีโกณมิติ
การแก้สมการตรีโกณมิติทำได้ในทำนองเดียวกันกับการแก้สมการทั่ว ๆ ไป แต่ต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติเพื่อหาคำตอบของสมการ
ถ้าโจทย์ไม่กำหนดให้คำตอบต้องอยู่ในช่วงใดช่วงหนึ่ง เราควรตอบคำตอบในรูปทั่วไป เพราะว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติไม่เป็นฟังก์ชัน 1-1 ดังนั้นค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของจำนวนจริงหรือมุมใด ๆ อาจจะซ้ำกันได้นะ
ตัวอย่างที่ 7 จงแก้สมการ sintheta+costheta=sqrt{2} โดย1. 0≤theta≤2pi
2. ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติมแนวคิด สามารถใช้ความรู้เรื่องเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ และสูตรมุมสองเท่ามาช่วยในการแก้สมการได้ และอย่าลืมตรวจ
คำตอบด้วยนะวิธีทำ1. จาก sintheta+costheta=sqrt{2}จะได้ (sintheta+costheta)^{2}=(sqrt{2})^{2}sin^{2}theta+2sinthetacostheta+cos^{2}theta=21+2sinthetacostheta=22sinthetacostheta+cos=1sin2theta=12theta=frac{pi}{2} หรือ frac{5pi}{2}จะได้ theta=frac{pi}{4} หรือ theta=frac{5pi}{4} เมื่อ 0≤theta≤2piตรวจคำตอบ1. แทน theta=frac{pi}{4} ในสมการ sintheta+costheta=sqrt{2}จะได้ sinfrac{pi}{4}+cosfrac{pi}{4}=frac{sqrt{2}}{2}+frac{sqrt{2}}{2}=sqrt{2} เป็นจริง2. แทน theta=frac{5pi}{4} ในสมการ sintheta+costheta=sqrt{2}จะได้ sinfrac{5pi}{4}+cosfrac{5pi}{4}=-frac{sqrt{2}}{2}-frac{sqrt{2}}{2}=sqrt{2}≠sqrt{2} เป็นเท็จดังนั้น theta=frac{pi}{4}
2. คำตอบทั่วไปของสมการ คือ 2npi+frac{pi }{4} เมื่อ n เป็นจำนวนเต็ม
หมายเหตุ : หลังจากหาคำตอบได้แล้ว เราใช้การบวก 2npi เพื่อสร้างคำตอบทั่วไปได้
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
วิชาฟิสิกส์นำความรู้เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติมาจำลองรูปแบบคล่ืนต่าง ๆ ที่เกิดขึ้น ซึ่งจะใช้ลักษณะของ
y=sinx, y=cosx, y=tanx ดังนี้
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็น ฟังก์ชันที่เป็นคาบ (periodic function) หมายความว่าเราสามารถแบ่งแกน X เป็น
ช่วงย่อย (subinterval) โดยที่ความยาวของแต่ละช่วงย่อยเท่ากัน และกราฟในช่วงย่อยมีลักษณะเหมือนกัน
ความยาวของช่วงย่อยที่สั้นที่สุดเรียกว่า คาบ (period) ของฟังก์ชัน และสำหรับฟังก์ชันที่เป็นคาบซึ่งมีค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชันนั้นว่า แอมพลิจูด (amplitude)
ตัวอย่างที่ 8 จงหาคาบ แอมพลิจูด โดเมน และเรนจ์ของฟังก์ชัน y=3sin2xวิธีทำจาก y=Asin(Nx) และ y=3sin2xจะได้ A=3 และ N=21. พิจารณาคาบของฟังก์ชัน
จากคาบ คือ frac{2pi}{N}
ดังนั้น frac{2pi}{N}=frac{2pi}{2}=pi2. พิจารณาแอมพลิจูดของฟังก์ชัน
จาก แอมพลิจูด คือ |A|
ดังนั้น |A| = |3| = 33. พิจารณาโดเมนของฟังก์ชัน
จะได้ว่าโดเมนของฟังก์ชัน คือ ℝ4. พิจารณาเรนจ์ของฟังก์ชัน
จาก เรนจ์ คือ [-|A|,|A|]
จะได้ [-|A|,|A|] = [-|3|, |3|] = [-3,3]
ดังนั้น คาบ คือ pi , แอมพลิจูด คือ 3, โดเมน คือ ℝ และเรนจ์ คือ [-3,3]
ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
การหาตัวผกผันของฟังก์ชันทำได้โดยการสลับที่ระหว่างสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของฟังก์ชัน โดยฟังก์ชัน 1-1 เท่านั้นที่มีตัวผกผันของฟังก์ชัน
จะขอยกตัวอย่างเนื่องจากที่ผ่านมาเรากล่าวถึง sin30^{circ} มีค่าเท่ากับ frac{1}{2} ซึ่งเป็นค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตัวผกผันจะกล่าวถึงมุม เช่น มุมใดที่ทำให้ค่าของ sinA มีค่าเท่ากับ frac{1}{2}
ฟังก์ชัน arcsin, arccos, arctan จะเป็นตัวผกผันของฟังก์ชัน sin, cos, tan ตามลำดับ
การหาค่าของฟังก์ชันผกผันตรีโกณมิติสามารถทำได้โดยอาศัยฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้น ๆ เช่น การหาค่าของฟังก์ชัน textrm{arcsinx} โดยที่ -1 ≤ x ≤ 1 ก็คือการหา theta ซึ่งอยู่ในเรนจ์ของฟังก์ชัน arcsin ที่ทำให้ sintheta=x
ตัวอย่างเช่น arcsin(1) คือการหา theta ซึ่ง ที่ทำให้ sintheta= 1
สรุปได้ว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติที่กำหนดโดเมนเพื่อให้มีฟังก์ชันผกผัน มีโดเมนและเรนจ์ดังนี้
ระวัง ! sin(arsinx) จะเท่ากับ x เมื่อ x อยู่ในเรนจ์ของ sin เท่านั้น
arcsin(sinx) จะเท่ากับ x เมื่อ x อยู่ในเรนจ์ของ arcsin เท่านั้น
เช่น arcsin sin120^{circ}=arcsinfrac{sqrt{3}}{2}=60^{circ} ไม่ใช่ 120^{circ}
ตัวอย่างที่ 9 จงหาค่าของ cos(arcsin(-frac{sqrt{3}}{2}))วิธีทำให้ arcsin(-frac{sqrt{3}}{2})=theta
จะได้ sintheta=-frac{sqrt{3}}{2}
จากเรนจ์ เนื่องจากในช่วง [-frac{pi}{2},frac{pi}{2}] มี -frac{pi}{3} เพียงค่าเดียวที่ sin(-frac{pi}{3})=-frac{sqrt{3}}{2}
ดังนั้น arcsin(-frac{sqrt{3}}{2})=-frac{pi}{3}
และ cos(arcsin(-frac{sqrt{3}}{2}))=cos(frac{-pi}{3})=frac{1}{2}
กฎของโคไซน์และกฎของไซน์
เนื่องจากฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นฟังก์ชันของจำนวนจริงหรือขนาดของมุม โดยเราจะนำความรู้มาหาความยาวด้านและขนาดของมุมในหัวข้อนี้ ซึ่งจะกล่าวถึงความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของรูปสามเหล่ียมและฟังก์ชันตรีโกณมิติ
กฎของโคไซน์
ให้รูปสามเหล่ียม ABC มีด้านตรงข้ามมุม A, B, และ C ยาว a, b และ c ตามลำดับ จะได้
กฎของไซน์
ให้รูปสามเหล่ียม ABC มีด้านตรงข้ามมุม A, B และ C ยาว a, b และ c ตามลำดับ จะได้
ตัวอย่างที่ 10
วิธีทำ
1) พิจารณาค่าของ x
จากกฎของโคไซน์ c^2=a^2+b^2-2abcos C
จะได้
c^2=a^2+b^2-2abcos C
x^2=6^2+5^2-2(6)(5)cos 60^{circ}
x^2=36+25-60left( frac{1}2{} right)
x^2=31
x=sqrt{31}, -sqrt{31}
เนื่องจาก x เป็นความยาวด้านของรูปสามเหล่ียม
ดังนั้น x=sqrt{31}
2) พิจารณาค่าของ sin A
จากกฎของไซน์ frac{sin A}{a}=frac{sin C}{c}
จะได้
frac{sin A}{6}=frac{sin 60^{circ}}{sqrt{31}}
sin A =frac{frac{sqrt{3}}{2}}{sqrt{31}}times 6
sin A =frac{sqrt{3}}{2}times frac{1}{sqrt{31}}times 6
sin A=frac{3sqrt{3}}{sqrt{31}}
ดังนั้น sin A=frac{3sqrt{93}}{31}
การหาระยะทางและความสูง
เราสามารถใช้ความรู้เรื่องฟังก์ชันตรีโกณมิติในการหาระยะทางและความสูง ซึ่งมุมที่เกี่ยวข้องจะใช้คำว่ามุมก้มและมุมเงย ซึ่งเกิดจากแนวระดับสายตา และแนวการมองไปยังวัตถุ มุมก้มคือมุมที่เกิดจากการมองวัตถุที่อยู่ต่ำกว่าระดับสายตา และมุมเงย คือ มุมที่เกิดจากการมองวัตถุที่อยู่สูงกว่าระดับสายตา
ตัวอย่างที่ 11 ยูตะยืนมองจากหน้าต่างห้องพักในปราสาทไปยังหอคอย เขามองยอดหอคอยเป็นมุมเงย 45^{circ} และมองฐานหอคอยเป็นมุมก้ม 30^{circ} ถ้าหน้าต่างห้องพักอยู่สูงจากพื้นดิน 20^{circ} เมตร แล้วหอคอยสูงกี่เมตร
แนวคิด จากโจทย์สามารถวาดภาพประกอบได้ดังนี้ ซึ่งโจทย์ต้องการหาส่วนสูงของหอคอย ดังนั้นต้องหา BC แล้วนำมาบวกกันกับ CD
วิธีทำ1. พิจารณารูปสามเหล่ียม ACDจะได้ tan30^{circ}=frac{CD}{AC}frac{1}{sqrt{3}}=frac{20}{AC}AC = 20sqrt{3}
2. พิจารณารูปสามเหล่ียม ABC
จะได้ tan45=frac{BC}{AC}
1=frac{BC}{20sqrt{3}}
BC=20sqrt{3}
ดังนั้นส่วนสูงของหอคอยเท่ากับ
BC+DC = 20sqrt{3}+20 เมตร
เป็นยังไงกันบ้างกับ “ฟังก์ชันตรีโกณมิติ” ที่เพิ่งอ่านจบกันไป ถ้าใครอ่านสรุปเนื้อหาแล้วยังรู้สึกไม่เข้าใจ ก็ไม่เป็นไรน้าา เพราะเนื้อหาฟังก์ชันตรีโกณมิติ ม.5 เนี่ยขึ้นชื่อว่าหินสุด ๆ แต่พี่เชื่อว่าถ้าเรามีพื้นฐานที่ดี ทบทวนบทเรียนและฝึกทำโจทย์บ่อย ๆ ก็จะทำให้เข้าใจในเนื้อหามากขึ้น ซึ่งถ้าใครอยากได้แบบฝึกหัดไปซ้อมมือ พี่มี แบบฝึกหัดตรีโกณมิติ ม.5 ที่รวบรวมโจทย์ไว้เยอะมากก
แต่ถ้าใครยังกังวล กลัวว่าทบทวนเองแล้วจะไม่เข้าใจ จนทำให้เรียนบทอื่นต่อไม่ได้ อยากได้คนช่วยไกด์ พี่ขอแนะนำคอร์สติวคณิตศาสตร์ ม.4 – 6 แบบบุฟเฟต์สำหรับเสริมเกรด จาก SmartMathPro เลยย สมัครครั้งเดียวคุ้มมากก เรียนได้จนจบม.6 พร้อมส่วนลดสูงสุด 35%
โดยในคอร์ส พี่ปูพื้นฐานละเอียด เจาะลึกเฉพาะบท อิงตามหลักสูตร สสวท. ใครพื้นฐานไม่ดีก็เรียนได้สบายมากใครสนใจดูรายละเอียดเพิ่มเติมก็ คลิก ได้เลย
ดูคลิปติวฟังก์ชันตรีโกณมิติ ม.5
รวมคลิปติว ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ม.5
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ม.5 (ปูพื้นฐาน) – 1
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ม.5 (ปูพื้นฐาน) – 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ม.5 (ปูพื้นฐาน) – 3
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ม.5 (สรุปเนื้อหา)
ดูคลิปอื่น ๆ เพิ่มเติมได้ที่ YouTube : SmartMathPro
